物理

一元四次方程求根公式

小常[论坛资料室]一般一元三次方程求根公式推导

此处描述的是一元四次方程求根天珩公式。（暂无推导）

这是一般式： $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(a,b,c,d,e\in R,a\ne 0)$

重根判别式：

$D=3b^2-8ac$

$E=-b^3+4abc-8a^2d$

$F=3b^4+16a^2c^2-16ab^2c+16a^2bd-64a^3e$

$A=D^2-3F$

$B=DF-9E^2$

$C=F^2-3DE^2$

总判别式： $\Delta =B^2-4AC$

(1)当$D=E=F=0$时，方程有一个四重实根。

$x_1=x_2=x_3=x_4=-\frac{b}{4a}=-\frac{2c}{3b}=-\frac{3d}{2c}=-\frac{4e}{d}$

(2)当DEF≠0，A=B=C=0时，方程有四个实根，其中有一个三重根。

$x_1=\frac{-bD+9E}{4aD},x_2=x_3=x_4=\frac{-bD-3E}{4aD}$

(3)当$E=F=0,D\ne0$时，方程有两对二重根；若$D$ > $0$，根为实数；若$D$ < $0$，根为虚数。

$x_{1,2}=x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{4a}$

(4)当$ABC\ne0,\Delta=0$时，方程有一对二重实根；若$AB$ > $0$，则其余两根为不等实根；若$AB$ < $0$，则其余两根为共轭虚根。

$x_{1,2}=\frac{-b+\frac{2AE}{B}\pm\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a},x_3=x_4=\frac{-b-\frac{2AE}{B}}{4a}$

(5)当$\Delta$ > $0$时，方程有两个不等实根和一对共轭虚根。

令

$z_{1,2}=AD+3(\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2}),$

$z=D^2-D(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})+(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})^2-3A$

符号因子函数$sgn(x)=\left\{\begin{aligned}0,x=0\cr\frac{|x|}{x},x\ne0\end{aligned}\right.$

则有：

$x_{1,2}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{(D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})/3}\pm\sqrt{\frac{2D-(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})+2\sqrt{z}]}{3}}}{4a}$

$x_{3,4}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{(D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})/3}}{4a}\pm\frac{\sqrt{\frac{2D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}+2\sqrt{z}}{3}}}{4a}i$

(6)当$\Delta$ < $0$时，若$D$与$F$均为正数，则方程有四个不等实根；否则方程有两对不等共轭虚根。

令

$\theta=\arccos{\frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}}}$

$y_1=\frac{D-2\sqrt{A}\cos{\frac{\theta}{3}}}{3}$

$y_{2,3}=\frac{D+\sqrt{A}(\cos{\frac{\theta}{3}}\pm\sqrt{3}\sin{\frac{\theta}{3}})}{3}$

<1>若$E=0,D$ > $0,F$ > $0，$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a},x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a}$

<2>若$E=0,D$ < $0,F$ > $0，$

$x_{1,2}=\frac{-b}{4a}\pm\frac{\sqrt{-D+2\sqrt{F}}}{4a},x_{3,4}=\frac{-b}{4a}\pm\frac{\sqrt{-D-2\sqrt{F}}}{4a}$

<3>若$E=0,F$ < $0，$

$x_{1,2}=\frac{-2b+\sqrt{2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}\pm\frac{\sqrt{-2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}i,$

$x_{3,4}=\frac{-2b-\sqrt{2D-2\sqrt{A-F}}}{8a}\pm\frac{\sqrt{-2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}i$

<4>若E≠0，一定存在$\max(y_1,y_2,y_3)=y_2$；故若D或F中有非正值即方程无实数解时，$\sqrt{y_1}=\sqrt{-y_1}i$， $\sqrt{y_3}=\sqrt{-y_3}i$，而$y_2$始终为正。

此时有：

当$D$与$F$均为正时，四实根为：

$x_{1,2}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{y_{1}}\pm\left(\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}\right)}{4a},$

$x_{3,4}=\frac{-b-sgn(E)\sqrt{y_{1}}\pm\left(\sqrt{y_{2}}-\sqrt{y_{3}}\right)}{4a}$

当$D$或$F$中有非正值时，四虚根为：

$x_{1,2}={\frac{-b-{\sqrt{y_{2}}}}{4a}}\pm{\frac{sgn(E){\sqrt{-y_{1}}}+{\sqrt{-y_{3}}}}{4a}}i,$

$x_{3,4}={\frac{-b+{\sqrt{y_{2}}}}{4a}}\pm{\frac{sgn(E){\sqrt{-y_{1}}}-{\sqrt{-y_{3}}}}{4a}}i$

公式中的总判别式$B^2-4AC$与三次方程盛金公式中的$B^2-4AC$以及二次方程求根公式中的$b^2-4ac$极为相似，体现了数学中的有序、对称、和谐与简洁美。

对于方程什么时候有实数根，什么时候有重根，天珩定理给出以下证明：

定理1：当$D=E=F=0$时，若$b=0$，则$c=d=e=0$；（此时方程有一个四重零根，天珩公式仍成立）（适用公式1）

定理2：当$D=E=F=0$时，若$b\ne0$，则$c,d,e\ne0$；（适用公式1）

定理3：当$A=B=C=0$时，若$D,E,F$中有0值时，则$D=E=F=0$；（适用公式1）

定理4：当$\Delta=0$，$A$或$C$中有0值时，则$A=B=C=0$；（适用公式2）

定理5：当$ABC\ne0$，$\Delta=0$时，$A$ > $0$恒成立；（适用公式4）

定理6：当$A$ < $0$，$\Delta$ > $0$恒成立；（适用公式5）

定理7：当$E=0$，$D$或$F$中有非正值时，方程无实数解；（适用公式6的<2><3>）

定理8：当$\Delta$ < $0$时，若$E\ne0,\max(y_1,y_2,y_3)=y_2$恒成立；故若$D$或$F$中有非正值即方程无实数解时，$\sqrt{y_1}=\sqrt{-y_1}i$， $\sqrt{y_3}=\sqrt{-y_3}i$，而$y_2$ > $0$恒成立；（适用公式6的<4>）

定理9：当$\Delta$ < $0$时，则$E\ne0,A$ > $0$恒成立；（适用公式6的<4>）

定理10：当$\Delta$ < $0$时，则$E≠0$，$-1$ < $\frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}}$ < $1$恒成立；（适用公式6的<4>）

LaTeX版：

这是一般式： ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(a,b,c,d,e\in R,a\ne 0)

重根判别式：

D=3b^2-8ac

E=-b^3+4abc-8a^2d

F=3b^4+16a^2c^2-16ab^2c+16a^2bd-64a^3e

A=D^2-3F

B=DF-9E^2

C=F^2-3DE^2

总判别式： \Delta =B^2-4AC

(1)当D=E=F=0时，方程有一个四重实根。

x_1=x_2=x_3=x_4=-\frac{b}{4a}=-\frac{2c}{3b}=-\frac{3d}{2c}=-\frac{4e}{d}

(2)当DEF≠0，A=B=C=0时，方程有四个实根，其中有一个三重根。

x_1=\frac{-bD+9E}{4aD},x_2=x_3=x_4=\frac{-bD-3E}{4aD}

(3)当E=F=0,D\ne0时，方程有两对二重根；若D > 0，根为实数；若D < 0，根为虚数。

x_{1,2}=x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{4a}

(4)当ABC\ne0,\Delta=0时，方程有一对二重实根；若AB > 0，则其余两根为不等实根；若AB < 0，则其余两根为共轭虚根。

x_{1,2}=\frac{-b+\frac{2AE}{B}\pm\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a},x_3=x_4=\frac{-b-\frac{2AE}{B}}{4a}

(5)当\Delta > 0时，方程有两个不等实根和一对共轭虚根。

令

z_{1,2}=AD+3(\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2}),

z=D^2-D(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})+(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})^2-3A

符号因子函数sgn(x)=\left\{\begin{aligned}0,x=0\cr\frac{|x|}{x},x\ne0\end{aligned}\right.

则有：

x_{1,2}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{(D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})/3}\pm\sqrt{\frac{2D-(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})+2\sqrt{z}]}{3}}}{4a}

x_{3,4}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{(D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})/3}}{4a}\pm\frac{\sqrt{\frac{2D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}+2\sqrt{z}}{3}}}{4a}i

(6)当\Delta < 0时，若D与F均为正数，则方程有四个不等实根；否则方程有两对不等共轭虚根。

令

\theta=\arccos{\frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}}}

y_1=\frac{D-2\sqrt{A}\cos{\frac{\theta}{3}}}{3}

y_{2,3}=\frac{D+\sqrt{A}(\cos{\frac{\theta}{3}}\pm\sqrt{3}\sin{\frac{\theta}{3}})}{3}

<1>若E=0,D > 0,F > 0，

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a},x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a}

<2>若E=0,D < 0,F > 0，

x_{1,2}=\frac{-b}{4a}\pm\frac{\sqrt{-D+2\sqrt{F}}}{4a},x_{3,4}=\frac{-b}{4a}\pm\frac{\sqrt{-D-2\sqrt{F}}}{4a}

<3>若E=0,F < 0，

x_{1,2}=\frac{-2b+\sqrt{2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}\pm\frac{\sqrt{-2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}i,

x_{3,4}=\frac{-2b-\sqrt{2D-2\sqrt{A-F}}}{8a}\pm\frac{\sqrt{-2D+2\sqrt{A-F}}}{8a}i

<4>若E≠0，一定存在\max(y_1,y_2,y_3)=y_2；故若D或F中有非正值即方程无实数解时，\sqrt{y_1}=\sqrt{-y_1}i， \sqrt{y_3}=\sqrt{-y_3}i，而y_2始终为正。

此时有：

当D与F均为正时，四实根为：

x_{1,2}=\frac{-b+sgn(E)\sqrt{y_{1}}\pm\left(\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}\right)}{4a},

x_{3,4}=\frac{-b-sgn(E)\sqrt{y_{1}}\pm\left(\sqrt{y_{2}}-\sqrt{y_{3}}\right)}{4a}

当D或F中有非正值时，四虚根为：

x_{1,2}={\frac{-b-{\sqrt{y_{2}}}}{4a}}\pm{\frac{sgn(E){\sqrt{-y_{1}}}+{\sqrt{-y_{3}}}}{4a}}i,

x_{3,4}={\frac{-b+{\sqrt{y_{2}}}}{4a}}\pm{\frac{sgn(E){\sqrt{-y_{1}}}-{\sqrt{-y_{3}}}}{4a}}i

公式中的总判别式B^2-4AC与三次方程盛金公式中的B^2-4AC以及二次方程求根公式中的b^2-4ac极为相似，体现了数学中的有序、对称、和谐与简洁美。

对于方程什么时候有实数根，什么时候有重根，天珩定理给出以下证明：

定理1：当D=E=F=0时，若b=0，则c=d=e=0；（此时方程有一个四重零根，天珩公式仍成立）（适用公式1）

定理2：当D=E=F=0时，若b\ne0，则c,d,e\ne0；（适用公式1）

定理3：当A=B=C=0时，若D,E,F中有0值时，则D=E=F=0；（适用公式1）

定理4：当\Delta=0，A或C中有0值时，则A=B=C=0；（适用公式2）

定理5：当ABC\ne0，\Delta=0时，A > 0恒成立；（适用公式4）

定理6：当A < 0，\Delta > 0恒成立；（适用公式5）

定理7：当E=0，D或F中有非正值时，方程无实数解；（适用公式6的<2><3>）

定理8：当\Delta < 0时，若E\ne0,\max(y_1,y_2,y_3)=y_2恒成立；故若D或F中有非正值即方程无实数解时，\sqrt{y_1}=\sqrt{-y_1}i， \sqrt{y_3}=\sqrt{-y_3}i，而y_2 > 0恒成立；（适用公式6的<4>）

定理9：当\Delta < 0时，则E\ne0,A > 0恒成立；（适用公式6的<4>）

定理10：当\Delta < 0时，则E≠0，-1 < \frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}} < 1恒成立；（适用公式6的<4>）