物理

[论坛资料室]棣莫弗公式

[已完结]棣莫弗公式的定义：设两个复数$z_1=r_1 (\cos \theta_1 +\text{i}\sin \theta_1),z_2=r_2 (\cos \theta_2 +\text{i}\sin \theta_2)$，则：

$z_1 z_2=r_1 r_2[cos(\theta_1 +\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1 +\theta_2)]$

下面是证明（其实很简单，只要知道复数的三角形式的表示和三角函数积化和差公式即可）

铺垫：在复平面$\mathbb{C}$上，用向量$\vec{z}=(a,b)$来表示复数$z(a+b\text{i})$，若$\vec{z}$与实轴正方向的夹角为$\theta,\theta \in (0,2\pi]$，那么两个分向量分别等于$(r\cos \theta,0),(0,r\sin \theta)$（其中$r=\sqrt{a^2+b^2}$），所以复数$z$可表示为$z=r(\cos\theta +\text{i}\sin \theta)$，其中，$\theta$叫做$z$的辐角。

证明：

$\because z_1=r_1 (\cos \theta_1 +\text{i}\sin \theta_1),z_2=r_2 (\cos \theta_2 +\text{i}\sin \theta_2)$

$\therefore z_1 z_2=r_1 r_2(\cos\theta_1 +\text{i}\sin \theta_1)(\cos\theta_2 +\text{i}\sin \theta_2)$

$=r_1 r_2[\cos\theta_1 \cos\theta_2 -\sin\theta_1 \sin\theta_2+\text{i}(\sin\theta_1 \cos\theta_2+\cos\theta_1 \sin\theta_2)]$

$=r_1 r_2[cos(\theta_1 +\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1 +\theta_2)]$