数学

[数学研讨会]常见的数学思想

 [2024年10月3日已更新]

            📈思想是数学学习的灵魂————序

                   在数学中，方法和思想缺一不可:方法是思想的具体体现，思想指导方法的选择和应用。在一定程度上，方法和思想极大推动了数学的发展。

                   而今天我们要聊的是数学思想，常见的数学思想到底有哪些呢？下面一起来看看吧！

               №1.化归思想

                   [1]定义:将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的总称。

                   [2]本质:没有学过的知识转换成学过的知识

                   [3]示例：关于x，y的二元一次方程组x-y=0，x+y=2中，我们可以将两式相加消去y，转化为关于x的一元一次方程来求解，先求出x然后再将x代入求出y即可。

                №2.分类讨论思想

                   [1]定义：把所有的研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干个小问题来解决，这种按不同情况来分类，然后再逐一研究的数学思想称为分类讨论思想

                   [2]本质：化整为零，化积为整

                   [3]大致步骤：①确定讨论对象和研究区域

                    ②对所讨论的问题进行合理的分类（做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）

                     ③逐类讨论：对各类问题详细分析，逐步解决

                     ④归纳总结，整合得出结论

                   [4]示例：|x|=1,应题目要求，我们要对x的取值范围进行分类讨论：❶当x≥0时，x=1；❷当x<0时，-x=1，x=-1。   综上所述，x的值为1或-1

               №3.数形结合思想

                     [1]定义：将抽象的数学语言与直观的图形结合在一起，通过数与形之间的对应关系与相互转化来解决W问题的思想方法叫做数形结合思想

                     [2]本质：数与形相互依存，形与数相互联系

                     ♣以数助形：使复杂问题简单化、抽象问题具体化

                     ♦以形助数：把握数学问题的本质

                      [3]示例：①代数中的例子：解不等式|x-3|<2。   根据绝对值的几何意义：❶|x-3|表示数轴上x到3的距离❷|x-3|<2表示为数轴上x到3的距离小于2

                          所以很容易的得出x的取值范围：1<x<5.

                         ②几何中的例子：求边长为a和b的长方形的周长和面积。用代数方法表示：面积：S=ab，周长：C=2(a+b)

                    №4.整体思想

                       [1]定义：从问题的整体性质出发，将多个对象视为一个整体，从整体角度进行分析处理，而不是单独的考察单独的某一个变量

                       [2]本质：整体视角看待问题，把握局部与整体的关系

                       [3]示例：①代数中的例子：已知x+y=1，xy=1，求$x^2y+xy^2$.   原式=xy(x+y)=1×1=1

                         ②几何中的例子：证明全等时，如果已知两个三角形的三条边分别对应相等，可以从整体上考虑两个三角形形状和大小完全一致，从而得出全等的结论

                     №5.方程思想

                        [1]定义：从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转换为数学模型（即方程，方程组，），然后通过解方程或方程组来使问题解决。

                        [2]实质:  实际问题转化为方程模型

                        [3]示例：已知长方形面积为4，长为2，求宽.     不妨设宽为x    则2x=4，x=2   所以宽为2.

                     №6.类比思想

                        [1]定义：依据两类数学对象的相似性，有可能的将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象的思想。

                        [2]本质：  主观的不充分的似真推理               

                        [3]注意事项：①相似性的可靠性

                        ②局限性认识

                        ③适用范围考量

                        [4]示例：我们可以类比四则运算。在整数的加法有交换律和结合律，类比到分数加法中也有类似的规律，即加法交换律和结合律也适用于分数加法。

                     №7.公理化思想

                        [1]定义:以某些命题为前提，只用它们，不用其他假设进行推理而建立数学理论.

                        [2]实质:以简驭繁立公理，演绎构造数学体系

                        [3]示例:欧几里德几何以少数公理和公设，演绎出庞大体系。如从五条公设推导出众多几何定理，展现公理化魅力

                      №8.极限思想

                        [1]定义:用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.(当一个变化量在不断变化的过程中，越来越靠近某个固定的数值，这个固定的数值就是变化量的极限)

                        [2]实质:无限接近即为相等变量趋近特定状态，揭示趋势确定数值为极限

                        [3]示例:一个数列，随着项数的不断增加，它的数值越来接近一个确定的数值，这个确定的值就是这个数列的极限           

                      №9.归纳思想

                        [1]定义：通过特例的分析引出普遍结论的思想方法

                        [2]实质:由特殊到一般，由个别示例到普遍规律

                        [3]示例:通过计算1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16...  观察这些结果，可以归纳出结论：从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 ！！之后继续更