物理

[论坛资料室]一个水帖——二阶旋转矩阵的另一种推导 P.S.真的很水，有用的东西基本没有，只是写给新手轮蒟蒻看的，大佬勿进

终于更完啦！又水(bushi)了一期

观前提醒：本文证明思路完全是个人所想，非搬运百科，勿喷，感谢！但是若有不严谨之处，敬请指正！

众所周知，平面直角坐标系适合图形的平移，但是总有些好人要让它旋转起来

那么该怎么转呢？我们先从点的旋转转起，而旋转一个点，就只要转原点到此点的向量

$而这个向量与坐标轴(可特指x轴)会有夹角，旋转它就是让这个夹角增加或者减少$

这个时候，就连小学二年级(毕导化了是吧)的同学都能敏锐的注意到这个夹角和复数的辐角很相似，几乎一模一样

那么让它的夹角增加或减少，就让我们想起了复数乘法的一个规则：模长相乘，辐角相加

$这样，我们只要把这个点改写成复数形式，如果我们要让这个点逆时针旋转\varphi 角，即让这个复数的辐角增加\varphi 角$

$然后我们就可以构造一个模长为1，辐角为\varphi 的一个复数，再与原复数相乘，即得旋转后的复数$

$那么，根据小小的三角函数知识我们就能知道这个复数就是\cos\varphi +i\sin\varphi (不懂的自己去画个图看看)$

$再设那个点为x+yi，与刚刚构造的复数相乘，就得到了旋转后的复数(x\cos\varphi -y\sin\varphi )+i(x\sin\varphi +y\cos\varphi )$

这个时候，我们就能再把这些复数拆成横坐标与纵坐标，再写成向量形式

$即得向量(x~~~y)^T逆时针旋转\varphi 角后的向量就是(x\cos\varphi -y\sin\varphi ~~~~~~x\sin\varphi +y\cos\varphi )^T$

(别问为什么不竖着写，问就是板砖会炸)

这个时候，我们就能轻松地推导出二阶旋转矩阵了

$也就是任何一个二维的向量右乘旋转矩阵就能得到这个向量逆时针旋转\varphi 角后的向量$

我们只需要对比一下系数，就能得到二阶旋转矩阵就是

$\begin{pmatrix}\cos\varphi~~~~~~-\sin\varphi \\ \sin\varphi~~~~~~\cos\varphi\end{pmatrix}$

这样就水灵灵地推出来了，而旋转一个图形，就只要把这个图形写成参数形式

因为图形的参数形式表现了横坐标和纵坐标与参数的关系，那么这个图形就也可以写成向量的形式

再乘上旋转矩阵，就可以得到这个图形旋转后的参数形式

这样，我们就可以从容应对平面直角坐标系中所有的旋转了，赶快去找一道函数旋转的题秒一下吧！