数学

从Mobius反演谈起

0. 群基础

在18世纪，对高次方程的研究逐渐走向抽象。数学家们开始尝试对多项式方程的根进行排列，各种不同的想法层出不穷，有人将根用不同的符号代替（Lagrange,1770），有人对置换理论进行了发展（Ruffini,1799），有人认识到了封闭性的重要性（Galois,1846），而直到1854年，群的抽象定义才正式出现（Cayley）。之后，随着环、域、模、向量空间等更多代数结构定义的出现，“代数”这个词的意义也逐渐从“方程理论”换变成了“代数结构理论”。

当然这些话听着玩就行，我们只需要知道群的基本定义：

定义1. 给定一个集合 $ G $ 和一个二元运算 $ \circ : G \times G \to G $ ，满足以下几条性质:

(1) 封闭性: 对于 $ a,b \in G $ , 有 $ a \circ b \in G $ .

(2) 结合律: 对于 $ a,b,c \in G $ , 有 $ (a \circ b) \circ c=a \circ (b\circ c) $ .

(3) 单位元（幺元）: 存在 $ e \in G $ , 满足对任意 $ a \in G $ , 都有 $ a \circ e=e \circ a=a $ .

(4) 逆元: 对于 $ a \in G $ , 存在 $ a^{-1} \in G $ , 满足 $ a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e $ .

则我们称 $ (G, \circ ) $ 构成一个群。如果二元运算是显然的或在前文有提及，本文也可能会简称为 $ G $ 构成一个群。

如果 $ a \circ b=b \circ a $ ，则我们称 $ G $ 为交换群或阿贝尔（Abel）群。如果只满足(1)(2)，则我们称 $ G $ 为半群；如果还满足(3)，称为幺半群。

最典型的交换群包括整数加法群 $ (\mathbb{Z},+) $ 、正有理数乘法群 $ (\mathbb{Q}_+, \times ) $ 、模 $ n $ 加法群（又称 $ n $ 阶循环群 $ C_n $ ）等，非交换群包括所有可逆 $ n $ 阶实矩阵构成的群（又称一般线性群 $ GL_n(\mathbb{R}) $ ）、关于 $ n $ 个物体的置换群 $ S_n $ 、平面内所有刚体变换构成的群等，而所有正偶数对乘法构成一半群，所有正整数对乘法构成一幺半群。

练习题. 验证以上的例子确实分别满足交换群、非交换群、半群、幺半群的定义.

1. 积性函数和完全积性函数

在数论发展的过程中，我们经常能见到所谓的“数论函数”，即定义域为正整数的函数。我们就挑最熟悉的Euler函数 $ \varphi(n) $ 来讨论吧。

首先我们熟知：若 $ \gcd(m,n)=1 $ ，则 $ \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n) $ 。根据简单的数论知识，我们还知道 $ \varphi(p^\alpha)=(p-1)p^{\alpha-1} $ 。根据这两条简单的性质，我们就能得到 $ \varphi(n) $ 的一般公式。

对集合 $ \{1,2,\cdots,n\} $ 中的数算两次还能得到另一条公式： $ n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d) $ 。

这些公式的形式都十分简洁，暗示背后有更一般的性质。我们仿照这些作如下定义：

定义2. 给定数论函数 $ f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{C} $ .

(1) 若对于任意 $ \gcd(m,n)=1 $ , 均有 $ f(mn)=f(m)f(n) $ , 则称 $ f $ 为积性函数.

(2) 若对于任意 $ m,n\in\mathbb{Z}_+ $ , 均有 $ f(mn)=f(m)f(n) $ , 则称 $ f $ 为完全积性函数.

（显然此时有 $ f(1)^2=f(1) $ 。若 $ f(1)=0 $ ，则由 $ \gcd(1,n)=0 $ 可得 $ f(n)\equiv0 $ 过于平凡，所以下面讨论的积性函数和完全积性函数均满足 $ f(1)=1 $ 。）

类似地，对于标准分解 $ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} $ ，若 $ f $ 积性，则 $ f(n)=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_k^{\alpha_k}) $ ；若 $ f $ 完全积性，则 $ f(n)=f^{\alpha_1}(p_1)f^{\alpha_2}(p_2)\cdots f^{\alpha_k}(p_k) $ 。

定义3. 给定数论函数 $ f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{C} $ , 称数论函数 $ g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d) $ 为 $ f $ 的Mobius变换.

比如说，Euler函数 $ \varphi(n) $ 是积性的，幂函数 $ \mathbf{Id}_k(n)=n^k,\ k\in\mathbb{Z} $ 是完全积性的。对于固定的奇素数 $ p $ ，Legendre符号 $ \left(\dfrac{n}{p}\right) $ 也是完全积性的，这是因为Euler判别法： $ \left(\dfrac{n}{p}\right)\equiv n^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} $ ，所以本质上也是幂函数。

我们在这些基础上再引入一些函数： $ k- $因数和函数 $ \sigma_k(n) $ ，表示 $ n $ 的正因数的 $ k $ 次幂之和； $ \epsilon(n)=\lfloor\frac{1}{n}\rfloor $ 当且仅当 $ n=1 $ 时 $ \epsilon(n)=1 $ ，否则 $ \epsilon(n)=0 $ 。特别地，我们把 $ \sigma_0(n) $ 记为 $ \mathbf{d}(n) $ ，把 $ \sigma_1(n) $ 记为 $ \sigma(n) $ ，把 $ \mathbf{Id}_0(n)=1 $ 记为 $ \mathbf{1}(n) $ ，把 $ \mathbf{Id}_1(n)=n $ 记为 $ \mathbf{Id}(n) $ 。

不难发现这些函数有以下的关系： $ \mathbf{Id} $ 是 $ \varphi $ 的Mobius变换， $ \mathbf{d} $ 是 $ \mathbf{1} $ 的Mobius变换， $ \sigma_k $ 是 $ \mathbf{Id}_k $ 的Mobius变换，而 $ \epsilon $ 就是其本身的Mobius变换。

练习题. 对于积性函数 $ f $ , 证明其Mobius变换也是积性的.

2. 数论函数上的代数结构

下面我们引入一个高级的符号： Dirichlet卷积 $ \ast $ ，将两个数论函数 $ f,g $ 的Dirichlet卷积定义为 $ (f\ast g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum\limits_{ab=n}f(a)g(b) $ 。

下面的几个性质也是显然的：

(1) $ (f\ast g)(n)=\sum\limits_{ab=n}f(a)g(b)=\sum\limits_{ba=n}g(b)f(a)=(g\ast f)(n) $

(2) $ (f\ast(g\ast h))(n)=\sum\limits_{a(bc)=n}f(a)(g(b)h(c))=\sum\limits_{(ab)c=n}(f(a)g(b))h(c)=((f\ast g)\ast h)(n) $

(3) $ (f\ast\epsilon)(n)=(\epsilon\ast f)(n)=f(n) $

容易看出，之前提到的Mobius变换只是和 $ \mathbf{1} $ 做Dirichlet卷积，所以后者可以认为是前者的推广。那么我们不妨把之前的式子整理成Dirichlet卷积的形式：

$$ \mathbf{Id}=\varphi\ast\mathbf{1} $$

$$ \mathbf{d}=\mathbf{1}\ast\mathbf{1} $$

$$ \sigma=\mathbf{Id}\ast\mathbf{1}=(\varphi\ast\mathbf{1})\ast\mathbf{1}=\varphi\ast(\mathbf{1}\ast\mathbf{1})=\varphi\ast\mathbf{d} $$

看，我们得到了一个新的恒等式： $ \sigma(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\mathbf{d}(\frac{n}{d}) $ ，这便是抽象带来的力量。

好了，回到刚才提到的三条性质，尤其是(2)和(3)。我们发现，这两条分别对应群定义中的(2)和(3)，而显然两个数论函数的卷积还是数论函数，因此所有数论函数在Dirichlet卷积下构成一个交换的幺半群，幺元就是 $ \epsilon $ 。那么我们自然要问：选取什么样的集合，才能让其在Dirichlet卷积下构成一个群呢？

假设数论函数 $ f $ 有逆元 $ g $ ，我们把 $ f\ast g=\epsilon $ 展开。

首先， $ f(1)g(1)=\epsilon(1)=1 $ ，这要求 $ f(1)\neq0 $ 。

其次，对于 $ n\geq2 $ ， $ \sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\epsilon(n)=0 $ ，而其中关于 $ g $ 的项只有 $ f(1)g(n) $ 的自变量最大，其它的都严格比 $ n $ 小。也就是说，只要 $ f(1)\neq0 $ ，我们就可以归纳地构造出 $ g(n) $ 的每一项。

综上所述， $ f $ 可逆当且仅当 $ f(1)\neq0 $ 。我们把对应的逆元 $ g $ 称为 $ f $ 的Dirichlet逆，暂时记为 $ f^{-1} $ 。于是，所有满足 $ f(1)\neq0 $ 的数论函数在Dirichlet卷积下构成一个交换群。

练习题. 证明:

(1) 两个积性函数的Dirichlet卷积还是积性函数, 积性函数的Dirichlet逆还是积性函数.

(2) 两个完全积性函数的Dirichlet卷积不一定是完全积性函数, 并且其Dirichlet逆也不一定是完全积性函数.

3.Mobius函数的引入和Mobius反演

既然这样，我们之前说的许多数论函数都有了自己的逆元。我们关注一个特殊的：

定义4. 称 $ \mathbf{1} $ 的Dirichlet逆为Mobius函数 $ \mu $ .

先来计算一下 $ \mu(n) $ 的前几项吧：

在计算的过程中，我们能逐渐找到规律：

1. 对于素数 $ p $ ，由于其因数只有 $ 1,p $ ，所以 $ \mu(1)+\mu(p)=0 $ ，即 $ \mu(p)=-1 $ 。

2. 对于素数的方幂 $ p^\alpha (\alpha\geq2) $ ，可以对指数归纳证明 $ \mu(p^\alpha)=0 $ 。

回想上一节末尾提到的结论，我们知道 $ \mu $ 也是积性函数，所以我们已经算完了。

$$ \mu(n)=\mu(p_1^{\alpha_1})\mu(p_2^{\alpha_2})\cdots\mu(p_k^{\alpha_k})=\left\{\begin{array}{cl}1&,n=1\\(-1)^k&,\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=1\\0&,\exists\alpha_i\geq2\end{array}\right. $$

而这便是通常我们见到的关于Mobius函数的计算方法。

引入这个函数实际上是为了研究Mobius变换的逆变换，又称为Mobius反演公式：

定理1. 对于两个数论函数 $ f $ 和 $ g $ , 以及完全积性函数 $ h $ , 有:

$$ \forall n,\ g(n)=\sum\limits_{d|n}h(d)f\left(\frac{n}{d}\right) \iff \forall n,\ f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)h(d)g\left(\frac{n}{d}\right) $$

在我们进行了这么多的铺垫后，终于可以从群论的角度给一个极其简单的证明。

证明.

$$ \begin{aligned} &\forall n,\ g(n)=\sum\limits_{d|n}h(d)f\left(\frac{n}{d}\right)\\\iff&g=h\ast f\\\iff&f=h^{-1}\ast g=(\mu\cdot h)\ast g\\\iff&\forall n,\ f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)h(d)g(\frac{n}{d}) \end{aligned} $$

关于 $ h^{-1}=\mu\cdot h $ , 详见练习题(1). 证毕.

之前我们提到了 $ \mathbf{Id} $ 是 $ \varphi $ 的Mobius变换，根据反演公式，我们便可以得到

$$ \varphi(n)=\sum\limits_{d|n}d\mu(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\frac{n}{d}\mu(d) $$

练习题.

(1) 记 $ (f\cdot g)(n)=f(n)\cdot g(n) $ . 对于完全积性函数 $ h $ , 证明 $ h\cdot(f\ast g)=(h\cdot f)\ast(h\cdot g) $ , 以此说明 $ h^{-1}=\mu\cdot h $ ，从而除 $ \epsilon $ 之外, 完全积性函数的Dirichlet逆均不是完全积性函数.

(2) 对于两个复值函数 $ F $ 和 $ G $ , 以及完全积性函数 $ h $ , 证明:

$$ \forall x\geq1,\ G(x)=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}h(k)F\left(\frac{x}{k}\right)\iff\forall x\geq1,\ F(x)=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\mu(k)h(k)G\left(\frac{x}{k}\right) $$

*4. 和其它函数的联系*

不知道各位在看到数论函数的定义时有没有这样的想法：“这不就是数列吗？”

说的没错，这就是数列。如果我们把Dirichlet卷积换成正常的卷积，即定义 $ (f\ast g)(n)=\sum\limits_{i=0}^nf(i)g(n-i) $ ，相信大家都能很快联想起多项式乘法，以及更进一步的母函数。是的，这样的卷积对应的就是母函数的相乘。那么我们的Dirichlet卷积对应的又是什么呢？是否也能找到像母函数那样的东西将整个数论函数“打包”起来呢？

答案是可以的。这个东西叫做Dirichlet级数，形式上是这个样子：

$$ D_f(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s} $$

什么你问我收敛性......想想母函数考虑过收敛性吗（划掉）

特别地，

$$ D_\mathbf{1}(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}=\zeta(s)\ (s>1) $$

为Riemann zeta函数。

显然有

$$ D_{f+g}(s)=D_f(s)+D_g(s) $$

$$ D_{f\ast g}(s)=D_f(s)\cdot D_g(s) $$

$$ D_f(s)\cdot D_{f^{-1}}(s)=D_\epsilon(s)=1 $$

因此Dirichlet卷积即为对应Dirichlet级数的相乘，Dirichlet逆即为对应Dirichlet级数的倒数。

而由于 $ \mu $ 即为 $ \mathbf{1} $ 的Dirichlet逆，于是我们可以得到 $ D_\mu(s)\cdot D_\mathbf{1}(s)=1 $ ，即

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)} $$

之后我们就能得到一些有趣的级数：比如令 $ s\to1 $ ，此时 $ \zeta(s)\to+\infty $ 逐渐接近调和级数，故

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n}=0 $$

又比如令 $ s=2 $ ，熟知 $ \zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $ ，故

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^2}=\frac{6}{\pi^2} $$

又比如考虑 $ \mathbf{Id}=\varphi\ast\mathbf{1} $ ，则可以得到 $ D_\mathbf{Id}=D_\varphi\cdot D_\mathbf{1} $ ，即

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} $$

又比如考虑 $ \sigma_k=\mathbf{Id}_k\ast\mathbf{1} $ ，我们又有

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma_k(n)}{n^s}=\zeta(s-k)\zeta(s) $$

类似的式子还有很多，如果感兴趣可以去维基搜索“狄利克雷级数”。

练习题.

(1) 对数论函数 $ f $ , 定义幂级数

$$ F(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f(n)\frac{x^n}{1-x^n} $$

为 $ f $ 的Lambert级数. 若 $ g $ 为 $ f $ 的Mobius变换, 证明 $ F(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}g(n)x^n $ , 并求

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\varphi(n)x^n}{1-x^n} $$

(2) 从数论角度, 证明函数 $ \mathbf{I}_2(n)=\left\{\begin{array}{cl}1&,\sqrt{n}\in\mathbb{Z}\\0&,\sqrt{n}\notin\mathbb{Z}\end{array}\right. $ 满足 $ \mathbf{I}_2\ast|\mu|=\mathbf{1} $ , 并证明

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{|\mu(n)|}{n^s}=\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} $$

**5. Dirichlet定理简介(1)**

提到Dirichlet，相信各位数竞生都听过他那个著名的定理，即每个模 $ m $ 的剩余类中都有无穷多的素数。事实上，他证明的结论实际上是关于不同剩余类中素数的倒数和的，但我很好奇有多少人大概地阅读了他的证明，或者基本理解了他的证明思路。既然已经铺垫了这么多了，我就简单地介绍一下吧。

对于固定的 $ m $ ，存在一系列具有良好性质的数论函数，我们称为“特征”，用 $ \chi $ 来表示，其满足：

(1) $ \chi(a)\neq0\iff\gcd(a,m)=1 $

(2) $ \chi(a+m)=\chi(a) $

(3) $ \chi(ab)=\chi(a)\chi(b) $

比如 $ \chi(a)=\left\{\begin{array}{cl}1&,\gcd(a,m)=1\\0&,\gcd(a,m)\neq1\end{array}\right. $ 就是一个平凡特征，而对于 $ m=p $ 为素数，Legendre符号 $ \left(\dfrac{a}{p}\right) $ 也可以看做一个特征。

如果 $ m $ 有原根 $ g $ ，则整个特征函数 $ \chi $ 完全由 $ \chi(g) $ 确定。而由于 $ g^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m} $ ， $ \chi(g) $ 也只能取 $ m $ 次单位根中的某一个，故共有 $ \varphi(m) $ 个互不相同的特征。这一结论对于一般的 $ m $ 依然成立，但这里不做证明。

比如说，当 $ m=4 $ 时， $ 3 $ 是其原根，于是特征函数完全由 $ \chi(3) $ 确定，且必须满足 $ \chi^2(3)=1 $ ，所以只有平凡特征 $ \chi_T(a)=1 $ 和一个非平凡特征 $ \chi(a)=\left\{\begin{array}{cl}1&,a\equiv1\pmod{4}\\-1&,a\equiv3\pmod{4}\\0&,2|n\end{array}\right. $ 。值得一提的是，此时的 $ \chi $ 的Mobius变换和 $ n=a^2+b^2 $ 整数解的组数有关，具体可以去看3b1b的视频。

根据我们的定义，特征都是完全积性函数。而对于完全积性函数，我们有如下的公式：

定理2.(Euler积) 对于完全积性函数 $ f $ ，有:

$$ D_f(s)=\prod\limits_{p\ prime}\left(1-\frac{f(p)}{p^s}\right)^{-1} $$

证明.

$$ \begin{aligned} D_f(s)&=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s}\\&=\sum\frac{f^{\alpha_1}(p_1)f^{\alpha_2}(p_2)\cdots f^{\alpha_k}(p_k)}{p_1^{\alpha_1s}p_2^{\alpha_2s}\cdots p_k^{\alpha_ks}}\\&=\left(1+\frac{f(2)}{2^s}+\frac{f^2(2)}{2^{2s}}+\cdots\right)\left(1+\frac{f(3)}{3^s}+\frac{f^2(3)}{3^{2s}}+\cdots\right)\cdots\\&=\frac{1}{1-\frac{f(2)}{2^s}}\frac{1}{1-\frac{f(3)}{3^s}}\cdots\\&=\prod\limits_{p\ prime}\left(1-\frac{f(p)}{p^s}\right)^{-1} \end{aligned} $$

证毕.

比如说， $ \mathbf{1} $ 显然是完全积性函数，于是我们有 $ \zeta(s)=\prod\limits_{p\ prime}(1-p^{-s})^{-1} $ ，取对数可以得到 $ \ln\zeta(s)=-\sum\limits_{p\ prime}\ln(1-p^{-s}) $ 。当然，为了 $ \zeta(s) $ 的收敛性，我们要求 $ s>1 $ 。

让我们回想一下 $ \ln $ 的泰勒展开：对于 $ |x|<1 $ ，有

$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots=\sum\limits_{m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{m-1}x^m}{m} $$

代入刚才的式子，并单独把每项的 $ m=1 $ 拿出来，便可以得到：

$$ \begin{aligned} \ln\zeta(s)&=\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{p^{ms}}\\&=\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{1}{p^{ms}}\\&=\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^{2s}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}\\&<\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^2\left(1-\frac{1}{2}\right)}\\&<\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\\&=\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}+2\zeta(2) \end{aligned} $$

于是 $ \sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}>\ln\zeta(s)-2\zeta(2) $ ，令 $ s\to1 $ ，则 $ \zeta(s)\to+\infty $ ，从而我们可以得到素数的倒数和发散。

**6.Dirichlet定理简介(2)**

（回复字符数不能超过3000）

那么问题就来了：既然之前可以认为是对完全积性函数 $ \mathbf{1} $ 进行的讨论，那如果换成其它完全积性函数会发生什么呢？

没错，这便是Dirichlet的出发点。为了和之前作区分，我们把 $ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\chi(n)}{n^s} $ 称为Dirichlet L-函数，记作 $ L(s,\chi) $ ，那么显然地， $ \zeta $ 函数依然是特殊的L-函数。

希望看到这里的各位还有耐心，现在再来看看之前的那些过程可以直接替换吧：

$$ \begin{aligned} L(s,\chi)&=\prod\limits_{p\ prime}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}\\\ln L(s,\chi)&=-\sum\limits_{p\ prime}\ln(1-\chi(p)p^{-s})\\&=\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=1}^{+\infty}\frac{\chi^m(p)}{p^{ms}}\\&=\sum\limits_{p\ prime}\frac{\chi(p)}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{\chi^m(p)}{p^{ms}} \end{aligned} $$

此时我们再尝试代入之前提到的$ \mod{4} $ 的非平凡特征：

$$ \begin{aligned} \ln L(s,\chi)&=\sum\limits_{p\ prime}\frac{\chi(p)}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{\chi^m(p)}{p^{ms}}\\&=\sum\limits_{4|p-1}\frac{1}{p^s}-\sum\limits_{4|p+1}\frac{1}{p^s}+\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{(\pm1)^m}{p^{ms}} \end{aligned} $$

而关于最后一部分，我们有 $ \left|\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{(\pm1)^m}{p^{ms}}\right|<\sum\limits_{p\ prime}\sum\limits_{m=2}^{+\infty}\frac{1}{p^{ms}}<2\zeta(2) $ ，同时相信大家熟知 $ L(1,\chi)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4}\neq0 $ ，因此在 $ s\to1 $ 时 $ \sum\limits_{4|p-1}\frac{1}{p^s}-\sum\limits_{4|p+1}\frac{1}{p^s} $ 有界。

而刚才证明了 $ \sum\limits_{4|p-1}\frac{1}{p^s}+\sum\limits_{4|p+1}\frac{1}{p^s}=\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s}-\frac{1}{2^s} $ 在 $ s\to1 $ 时无界，于是在 $ s $ 足够接近 $ 1 $ 时， $ \sum\limits_{4|p-1}\frac{1}{p^s}\approx\sum\limits_{4|p+1}\frac{1}{p^s}\approx\frac{1}{2}\sum\limits_{p\ prime}\frac{1}{p^s} $ 均无界。

综上，我们证明了模 $ 4 $ 余 $ 1 $ 的素数的倒数和以及余 $ 3 $ 的素数的倒数和大致以相同的速度发散，所以有无穷多 $ 4k+1 $ 和 $ 4k+3 $ 型的素数。

恭喜你们，现在已经完成了最主要的过程。

对于更一般的情况，就需要在特征之间进行运算，而这些内容在群表示论中才有更深入的介绍。群表示论研究的是从群元素到矩阵的映射，并且将群运算变为矩阵乘法，其中的对称性直观且精妙，有时甚至能超过群论本身。利用这些特征之间的运算，我们可以巧妙地区分出不同的缩剩余类，就像刚才一个特征对应 $ \sum\limits_{4|p-1}+\sum\limits_{4|p+1} $ 而另一个特征对应 $ \sum\limits_{4|p-1}-\sum\limits_{4|p+1} $ 那样，从而达到我们想要的效果。如果各位只想简单了解，那么随便拿一本大学的数论教材，上面也都会有介绍，足够完成Dirichlet定理证明中的核心理论部分。

解析数论（analytic number theory）即从分析的角度，研究诸如Dirichlet L-函数、Riemann zeta函数、三角和等对象，通过误差估计得到关于数论的信息，我们听过的素数定理、陈氏定理“1+2”等大部分有关素数分布的结论都是解析数论的成果。

与之相对的是代数数论（algebraic number theory）。其从代数的角度，研究诸如代数整数环、模函数、椭圆曲线等对象，通过构造新的运算和代数结构得到关于数论的信息，各种不定方程（包括Fermat大定理）主要依赖的就是代数数论。

这篇文章花了大约三整天完成，希望能激发起各位对数论的兴趣。如果您看到了末尾，不妨动下手点个小小的赞。

谢谢。

-Fin-

也可以看下这个 https://oi-wiki.org/math/number-theory/mobius/