这个......突发奇想想更$\sout{绝不是我要拖更昂}$

你将和那个少女微积分$calculus$一起，探寻微积分的世界

在那个日子，你和白发少女$calculus$的相遇，一见为永恒。

1.致：微风的午后－－－求导

风吹窗纱，书桌旁，少女笑笑的看着你，你从她的眼眸中看见了故事

微分是什么？通俗讲便是求极限，两个不相连的东西切线的斜率与瞬时速度以她的手相连

问题是切线斜率是何？不过是$\lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$罢了，但是这是何种思想？

不过让我们看看瞬时速度罢，$\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

很神奇不是吗？少女温柔的手以此将二者相连。我们才发现，她们也是少女的分支罢了

先在，让我们了解她的一点－－微分，

你知道，少女的魔法之一就是导数$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$极限存在，则少女轻吟，开始了微分，而她的一部分就是－－微分学

于是你便试图猜想：如果$f'(c)存在，那么f在c点连续，少女点点头，不过又摇摇头说$：“这个定理的逆定理是不存在的，记住哦~。”她挥挥手，$将增量\Delta x请出，将导数变为了f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$,这下，你见到了导数的真正面目，可以继续探寻下去了

你会发现一个神奇的事－－她的舞蹈（运算如此之美），不过，他有着和$\sqrt{-1}一样的奇术，当他对常数C求导时f'(x)=0，：“所以你可以将万物归0？和\times的权能相等？：“并非如此。”少女如是说：“面对三角函数时，我可能无法归0.......。”$

$不过也是好的.......话说\sin^2x你又会如何呢，少女自信的笑道，你是不是忘记了，当时幼稚的我---复合函数啊！！！$

对啊，复合函数，当时的你总是傻啊，面对着$f(g(x))常常束手无策，不过身边当时小小的，在你身边的她也陪着你，使用函数和换元终于是让你战胜了它，你将g(x)=u,f(u)=f(g(x))搞懂了,$

$发现确实答案就在其中,现在，她手上的新的魔法又是何呢？f(g(x))=f'(g(x))g'(x)，这样一个被『祂』们称为链式法则之物。不过，她也曾戏耍过神，可惜神明毕竟是神，还是发现了$

在这时，有着异族冲了上来，少女轻轻说:“记住了这些法则，它们是我的力量，如今也将是你的：“

少女伸出双手，清唱起歌

$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)~~~(f-g)'x=f'(x)-g'(x)~~~(fg)'x=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)~~~(\frac{f}{g})'x=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

你感到心中仿佛有什么东西一般，抬起头，对上她的眼睛，她的白发被夕阳勾勒出余辉。向草原下望你看到了题目

$求以下函数的导数：（1）f(x)=2x^2~~~(2)f(x)=x^2\sin x~~~(3)f(x)=(2x^2-4x+1)^10$

你 感觉十分简单，使用了链式法则和少女告诉你的法则很快的消灭掉了不愉快

不过，少女鏖战犹酣，于是，她幻化出魔法---高阶导数与隐函数求导

高阶导数......你想起了另外一个身影－－速度和加速度，这正是$\frac{ds}{dt}和\frac{d^2s}{dt^2}啊$

少女告诉你，高阶导数的求导是再导几遍的意思.....你似懂非懂，于是，少女心念一动，将你传送到了一个地方

$如果f(x)=\sin 2x，那么一阶导就是2\cos 2x，二阶导就是-2^2\sin 2x，三阶导就是-2^3\cos 2x，会了吗？$

这下你总算是明白了，可是啊，隐函数是何物呢

少女笑笑，说：“你曾经有遇到过这种方程吗？不可以通过x解出y，比如

$y^3+7y=x^3,但是显然，有y=1并且是唯一实数解，当x=2时，方程确定了y，我们将y定义为x的一个隐函数$

$但是，少女笑道，你可以对他这个人先求导，或许你毫无思路，你可以假设y是关于x的未知函数，对x进行微分，就会得到$

$\frac{\text dy}{\text dx}=\frac{3x^2}{3y^2+7},接下来你只需求出某一点的切线斜率即可。但是隐微分法有些要求$

$若有一个包含x,y的函数y=f(x)且他可微，则隐微分便适用于他$

$比如说吧,x^2+y^2=25(345你不知道？）它决定了函数y＝f(x)=\sqrt{25-x^2}和y=g(x)=-\sqrt{25-x^2}$

$当我们对这个函数求导时可以发现，得到了\left\{\begin{matrix}\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}\\ \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}\end{matrix}\right.$

$当我们要求出他在x=3处的斜率时，简单代入会发现答案便是\dfrac{3}{4}和-\dfrac{3}{4}$

$那么，少年，你与她的旅途，即将拉开帷幕......$

第一章   完

2.致那将歇的夕阳－－－无穷级数

一个数列，数学那个老人赠送与你的礼物，那么若其为无穷数列，那么便是一个定义域为正整数、值域是实数集的函数

收敛又为何物呢？

$若对于一个正数\epsilon ，都有一个相应的正数N使得$

$n\leqslant N\rightarrow |a_n-L|\lt \epsilon$

$则称数列\begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix}在L初收敛，记为：$

$\lim_{n\to \infty}a_n=L$

$若一个数列不收敛与任何一个有限的数L，则我们称它是发散的$

$接下来让请你伸出双手，和少女诉说你的梦“考虑a_1+a_2+a_3+a_4...$

$也就是定义为\sum^\infty_{k=1}a_k的东西，若她的部分和数列\begin{Bmatrix}S_n\end{Bmatrix}收敛于x$

$那么无穷级数\sum^\infty_{k=1}a_k收敛且有和S，若\begin{Bmatrix}S_n\end{Bmatrix}发散，那么级数也同样发散$

$容我们看看几何级数......$

$以形式\sum^\infty_{k=1}ar^{k-1}(a≠0)表示的级数称为几何级数$

接下来让她告诉你检验级数发散性的一般方法

$2-1.第n项判别发散性法$

$假如级数\sum_{n=1}^\infty a_n收敛，那么\lim_{n \to \infty}a_n=0.等价的，假如\lim_{n\to \infty}a_n≠0或者lim_{n\to \infty}a_n不存在$

$那么这个级数发散$

$不过有时，他会失效......在那个她---调和级数面前$