[论坛资料室]映射：世界的影子

“映射，让我们看到世界的影子。”

——某不知名数学家

映射，这个名词我们都不陌生。它不算难，但却在数学中占据重要的地位。而我们今天的主题——对于空间的变换，也就是投射空间的影子，就要运用映射的概念。

首先讲一个最最基础的概念，集合。所谓集合就是一堆有共同特征的元素放在一起，可以是数字，矩阵，函数，向量，张量，代数对象，几何对象，甚至是你中午吃的菜，都可以是这样的元素。总之就是一些有共同特征的东西堆在一起，这就是集合。下面给出一些常用集合，它们在今天的讨论中至关重要。

不过这里要注意的一点是，集合上增加一个指数，说明这个集合中的元素是由指数个“底数”集合中的指数个元素组成的，比如实n维线性空间，就是在n个实数集中选取n个数，来表征实n维线性空间中的一个元素。

此外，集合的几何意义就是空间。换句话说，每一个集合都对标了一个空间。比如实数集其实对应了一条数轴，也就是一个一维空间。之后我们会讲到，复数集等价于实2维线性空间，所以复数集代表了复平面。

接下来可以请出我们今天的主角了。所谓映射，包含三个必要元素，即原空间，像空间和对应关系。我们选择一个对应关系，将原空间（一个集合）中的每一个元素对应到像空间（另一个集合）中的元素上。一般情况下，任意映射可以用下面这两个式子表达：

其中f是一个对应关系，A，B是集合，a，b分别是这两个集合中的元素。这个f，我们给它起个名字，就是函数。

举个例子，函数y=x+1，很明显，它是这样一个映射：

它是一个一维空间到一维空间的映射。这不难理解。你也可以认为，这个函数把一条直线映射为了一条直线。同样的，非线性函数就会把这条直线扭曲成曲线，这就是我们说的，空间的映射，空间的影子。同理，我们可以列出一些别的映射：

第一个映射把一张平面扭曲成曲面，第二个映射就是物理学中的场，它赋予空间中每一点一个值，当然你也可以把它理解为是三维空间的扭曲，只不过这个扭曲需要在更高维度的空间中表征。第三个第四个映射分别把二维空间扭曲成球面和环面。如果你在这里已经感觉晕了，那么从头再翻一遍。如果你感觉良好，那我们继续。

假设你是一个生活在一维世界中的数学家，你现在发现了最简单的函数y=2x，你想把它表示出来。很明显我们在二维中构造x轴和y轴的方法行不通了，我们只能尝试变换坐标线。哦不，在一维空间中，它应该叫做坐标点。说人话，就是数轴中的点。我们不妨标出所有被变换的整数点，那么就会出现下图：

其中没有画红圈的点，是原空间中的点，画红圈的点是像空间中的点，就是一维生物画出的函数图像。

那我们看一个二维到二维的映射。

有同学这时候就要问了，诶自由基，你刚刚不是说C是复数集吗，怎么变成二维空间了？别急。众所周知，所有的复数都可以表示成z=a+bi。所以任意一个实数对(a,b)都可以表示一个复数。因此，实n维线性空间和复数集元素数相同。在集合论中，我们称两个元素数相同的集合等价，所以存在如下等价关系：

这个等价关系非常重要，他告诉我们复数集可以表示成一个平面，也就是复平面。因此，所有复函数都是二维空间到二维空间的映射，也就是投射二维空间的影子。

那这样的函数应该如何可视化？很明显我们不能直接飞升四维流形和复流形分析，因为我还没有那个本事，那些流形也看不见。所以我们还是要在二维空间中表示这些函数。这时候有学过向量场的同学肯定又要说了，用向量场不就行了吗？没错，向量场可以表示二维空间到二维空间的映射，但是这个方法在复分析中由于太过复杂，因此并不是很常用。

照葫芦画瓢，我们可以仿照一维生物的办法。所以让我们请出今天的第二个主角，黎曼zeta函数。

黎曼zeta函数由下面这个级数定义（放心，以后你还能遇见它）：