物理

[论坛资料室]欧拉公式

[已完结]欧拉公式，即$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta$，是一个把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式。

其中，$e^{i\pi}=-1$是一个我们比较熟悉的特例，看过火柴人VS数学的都知道

那我们直接上证明(由于本人对这些内容没有深度的研究，可能比较生硬)：

设$z=a+bi\in \mathbb{C}(a,b\in \mathbb{R})$

$\lim_{x\to\infty}\left( 1+\frac{z}{x}\right)^x$

$=\lim_{x\to\infty}\left(\left( 1+\frac{z}{x}\right)^{\frac{x}{z}}\right)^z$

$=\left(\lim_{x\to\infty}\left( 1+\frac{z}{x}\right)^{\frac{x}{z}}\right)^z$

$=e^z$

那么

$\lim_{x\to\infty}\left( 1+\frac{z}{x}\right)^x =e^z$

即

$e^{a+bi}=\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x+a}{x}+\frac{b}{x}i\right)^x$

设$\left( \frac{x+a}{x}+\frac{b}{x}i\right)^x =r(\cos \theta +i\sin \theta)$

据模与辐角的定义及棣莫弗公式可得：

$r=\left(\left(\frac{x+a}{x}\right)^2+\left(\frac{b}{x}\right)^2\right)^{\frac{x}{2}},\theta=x\arctan \left(\frac{b}{x+a}\right)$

$\lim_{x\to\infty}\ln r$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{2a}{x}+\frac{a^2+b^2}{x^2}\right)$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}\left(\frac{2a}{x}+\frac{a^2+b^2}{x^2}\right)$

$=a$

即

$\lim_{x\to\infty}r=e^a$

$\lim_{x\to\infty}\theta$

$=\lim_{x\to\infty}x\arctan \left(\frac{b}{x+a}\right)$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{bx}{x+a}$

$=\lim_{x\to\infty}b-\frac{ab}{x+a}$

$=b$

由此可得

$e^{a+bi}$

$=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x}+\frac{b}{x}i\right)^x$

$=\lim_{x\to\infty}r(\cos \theta+i \sin \theta)$

$=e^a(\cos b+i \sin b)$

当$a=0$时，$e^{bi}=(\cos b+i \sin b)$，即$e^{\theta i}=(\cos \theta+i \sin \theta)$

将$x$取$\pi$得：

$e^{i\pi}+1=0$