[论坛资料室]泰勒展开式

最近在读虚数有关书籍📚，简单做个分享

在大多数人眼中，eˆx,sinx,cosx等函数似乎都以一连串小数示人，可是，有办法用漂亮的整数来表示它们呢？

实际上，指数函数eˆx、三角函数sinx和cosx等函数都可以用只含有x、x的乘方（即对x进行多次乘法计算）和常数的多项式来表示。不单是多项式，如下所示，而是项数无穷多的多项式。

像这样，用项数无穷多的多项式来表示某个函数，叫作“泰勒展开式”（下面的多项式属于泰勒展开式的特殊情况，也被称为“麦克劳林展开式”）。

A,指数函数的泰勒展开式

eˆx=1+$\frac{x}{1}$+$\frac{xˆ2}{1×2}$+$\frac{xˆ3}{1×2×3}$+$\frac{xˆ4}{1×2×3×4}$+$\frac{xˆ5}{1×2×3×4×5}$+$\frac{xˆ6}{1×2×3×4×5×6}$+$\frac{xˆ7}{1×2×3×4×5×6×7}$+......

B.三角函数sinx的泰勒展开式

sinx=$\frac{x}{1}$-$\frac{xˆ3}{1×2×3}$+$\frac{xˆ5}{1×2×3×4×5}$-$\frac{xˆ7}{1×2×3×4×5×6×7}$+$\frac{xˆ9}{1×2×3×4×5×6×7×8×9}$-$\frac{xˆ11}{1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11}$+......

C.三角函数cosx的泰勒展开式

cosx=1-$\frac{xˆ2}{1×2}$+$\frac{xˆ4}{1×2×3×4}$-$\frac{xˆ6}{1×2×3×4×5×6}$+$\frac{xˆ8}{1×2×3×4×5×6×7×8}$-$\frac{xˆ10}{1×2×3×4×5×6×7×8×9×10}$+......

请仔细观察上面的算式。

sinx的泰勒展开式与eˆx的泰勒展开式相似，但前者只包含x的奇数次方项，没有x的偶数次方项。而且，各项前的+、－符号是交替变换的。相反，cosx的泰勒展开式只包含1和x的偶数次方项。各项前的＋、－符号交替变换，与sinx的情况一致。

高中数学课上学习eˆx、sinx、cosx时，大家可能都认为，“原来数学家就是创造“特殊函数”的人啊”。而实际上，这些函数是可以用只包含整数、即规则又完美的公式来表示的。可以说，这里隐藏着数字的神奇魅力。