物理

[论坛资料室]高中数学课内基础知识点梳理与题型分析•不等式•基本不等式最值问题

$\huge{高中数学知识点梳理与题型分析}$

$\Large{不等式(壹)}$

$\large{入门:均值(基本)不等式}$

$\Large{更新进度:\orange{56\%}}$

$\fbox{1.重要知识点梳理}$

$\blue{I.二元均值不等式}$

首先给出基本不等式:

$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}~~~~~~~~~~(1)$

这是最基础的形式,下面进行推广

$\begin{cases} a^2 + b^2 \geqslant 2ab(用得很少) \\ \begin{cases} ab \leqslant \dfrac{a ^2 + b^2}{2}~~~~~(2)\\ ab \leqslant {(\dfrac{a + b}{2})}^2~~~~(3)\end{cases} \end{cases}$

$(当且仅当a = b取“=”)$

那么如何正确使用以上不等式？

$口诀：一正，二定，三相等。$分别指：

$~~~~~一正：a,b \in \mathbb{R}^+ \orange{(基本条件！非常重要！)}$

$~~~~~二定：积定和有最小值，和定积有最大值$

$~~~~~三相等：a = b取等$

$由此可知，ab为定值用(1), a^2 + b^2为定值用(2), a + b为定值用(3)$

接下来引入均值不等式,在此之前先给出一些定义

$算术平均数(A)：\dfrac{a + b}{2}$

$几何平均数(G)：\sqrt{ab}$

$平方平均数(Q)：\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$

$调和平均数(H)：\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}$

则有：

$Q_2 \geqslant A_2 \geqslant G_2 \geqslant H_2 $

即：

$\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} \geqslant \dfrac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}$

上式即为均值不等式，又称“平均数不等式”，使用条件同上。

$\blue{三元均值不等式}$

$从名字就可以看出，这是二元不等式的推广，在题目中也有较多的应用$

$(4)~~\begin{cases} a^3 + b^3 + c^3 \geqslant 3abc \\ a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{abc} \end{cases}$

$(5)~~\begin{cases} abc \leqslant \dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \\ abc \leqslant {(\dfrac{a + b + c}{3})}^3 \end{cases}$

$同样的，a, b, c \in \R^+，当且仅当a = b = c取“=”$

$三元均值不等式：$

$Q_3 \geqslant A_3 \geqslant G_3 \geqslant H_3 $

即：

$\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}} \geqslant \dfrac{a + b + c}{n} \geqslant \sqrt[3]{abc} \geqslant \dfrac{3}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}$

$条件同上。$

$\blue{多元均值不等式}$

根据不完全归纳法，我们将均值不等式扩展至多元：

$Q_n \geqslant A_n \geqslant G_n \geqslant H_n $

即：

$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \geqslant \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n} \geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}$

为了简便，上式可以记作：

$\sqrt{\dfrac{\sum_{i = 1}^n x_i^2}{n}} \geqslant \dfrac{\sum_{i = 1}^n x_i}{n} \geqslant \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_i} \geqslant \dfrac{n}{\sum_{i = 1}^n x_i^{-1}}$

$类似的，x_i \in \R^+，当且仅当x_1 = x_2 = \cdots = x_i取“=”$

衍生(不常用)：

$n^2 \leqslant \sum_{i = 1}^n x_i \cdot \sum_{i = 1}^n x_i^{-1}$

另外，均值不等式可经过变形成为“权方和不等式”：

$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} \geqslant \dfrac{{(a + b)}^2}{x + y}$

$其中a,b,x,y \gt 0,当且仅当\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}取“=”$

$\fbox{2.常用解题方法}$

$\fcolorbox{purple}{cyan}{1} 换元消元法$

------将复杂代数式换元成(类似)基本不等式的形式再消元

$\fcolorbox{purple}{cyan}{2} 分离参数法$

------将复杂含参非齐次分式分离成 常数 + ? + 常数/?的假分式形式利于使用基本不等式

$\fcolorbox{purple}{cyan}{3} 主元法$

------用含一个字母的代数式表示另一个字母，通常需要配合其它方法

$\fcolorbox{purple}{cyan}{4} 不完全因式分解$

------本身不能因式分解的式子加加减减成可因式分解的，常再利用$(2)$或$(3)$解决

$\fcolorbox{purple}{cyan}{5} “1”的妙用$

------利用“1”的性质求最值，特殊，爱考

$\fcolorbox{purple}{cyan}{6} 构造函数法$

------利用构造出的二次函数或作函数图象(一般是双勾函数)求极值点,通常要配合其他方法使用

$(注：下文中将出现的形如\fcolorbox{purple}{cyan}{n}表示将使用这里提到的第n个方法)$

$\huge{未完待续！！！例题仍在编写！部分正文内容待完善！！！}$