物理

[论坛资料室]速通复变函数 第零期

为了提高同学们的学习效率(不是我偷懒(((((()，我先甩十道习题在这里，若十道习题正确率还看得过去，就可以跳转第一期进行新知的学习啦

(答案见评论区)

$1~~~计算下列各式$

$(1)~(1+i)-(3-2i)~~~~~~~~~~(2)~(a-bi)^3$

$(3)~\frac{i}{(i-1)(i-2)}~~~~~~~~~~(3)~\frac{z-1}{z+1}~(z=x+iy\ne -1)$

$2~~~证明下列关于共轭复数的运算性质$

$(1)~\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}~~~~~~~~~~(2)~\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}~~~~~~~~~~(3)~\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

$3~~~解方程组\left\{\begin{matrix}2z_1-z_2=i\\(1+i)z_1+iz_2=4-3i\end{matrix}\right.$

$4~~~将直线方程ax+by+c=0(a^2+b^2\ne 0)写成复数形式[提示:记x+iy=z]$

$5~~~将圆周方程a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0(a\ne 0)写成复数形式(即用z与\overline{z}来表示,其中z=x+iy)$

$6~~~求下列复数的模与辐角主值$

$(1)~\sqrt{3}+i~~~~~~~~~~(2)~-1-i~~~~~~~~~~(3)~2-i~~~~~~~~~~(4)~-1+3i$

$7~~~证明下列各式$

$(1)~|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})$

$(2)~|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2),并说明此式的几何含义$

$(3)~\frac{1}{\sqrt{2}}(|x|+|y|)\le |z|\le |x|+|y|~(其中z=x+iy)$

$8~~~将下列各复数写成三角表达式$

$(1)~-3+2i~~~~~~~~~~(2)~\sin\alpha +i\cos\alpha ~~~~~~~~~~(3)~-\sin\frac{\pi}{6}-i\cos\frac{\pi}{6}$

$9~~~利用复数的三角表示来计算下列各式$

$(1)~(1+i)(1-i)~~~~~~~~~~(2)~\frac{-2+3i}{3+2i}$

$(3)~(\frac{1-\sqrt{3}i}{2})^3~~~~~~~~~~(4)~\sqrt[4]{-2+2i}$

$10~~~解方程z^3+1=0$

如果不会也不要紧，如果评论区呼声较高的话，我可以考虑出一个第负一期哦