test123 - 质心论坛

传东西的帖子（纯纯用来搞实验的，此帖子无意义，不用往下看）

#include <iostream>
int main(){
  int a,b;
  std::cin>>a>>b;
  std::cout<<a<<b<<std::endl;
  return 0;
}

321\
321/
23

-0

$$\begin{bmatrix}3&5&8.3+21\end{bmatrix}$$
$\sum_{3}^{5} (i^3)$

可以将

$$\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}$$

列成：

$$\begin{aligned}a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_1a_5+...+a_1a_n\ a_2a_3+a_2a_4+a_2a_5+...+a_2a_n\ a_3a_4+a_3a_5+...+a_3a_n\ a_4a_5+...+a_4a_n\ ...\end{aligned}$$

补全得到：

$$\begin{aligned}\color{green}{a_1^2}+\color{black}a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_1a_5+...+a_1a_n\ \color{red}{a_2a_1}+\color{green}{a_2^2}+\color{black}a_2a_3+a_2a_4+a_2a_5+...+a_2a_n\ \color{red}{a_3a_1+a_3a_2}+\color{green}{a_3^2}+\color{black}a_3a_4+a_3a_5+...+a_3a_n\ \color{red}{a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3}+\color{green}{a_4^2}+\color{black}a_4a_5+...+a_4a_n\ ...\end{aligned}$$

故可以得到：

$$2\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}+\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}=(\sum_{i=1}^{n}{a_i})^2$$

由于：

$$\bar a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_i}$$

$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(a_i-\bar a)^2}$$

故：

$$\begin{aligned}ns^2&=\sum_{i=1}^{n}{(a_i-\bar a)^2}\&=\sum_{i=1}^{n}{(a_i^2-2\bar aa_i+\bar a^2)}\&=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}-\sum_{i=1}^{n}{2\bar aa_i}+\sum_{i=1}^{n}{\bar a^2}\&=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}-2n\bar a^2+n\bar a^2\&=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}-n\bar a^2\end{aligned}$$

代入得到

$$2\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}+\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}=(\sum_{i=1}^{n}{a_i})^2$$

$$2\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}+ns^2+n\bar a^2=n^2\bar a^2$$

$$\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}=\frac{n^2\bar a^2-n\bar a^2-ns^2}{2}$$

所以答案为：

$$\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=i+1}^{n}{a_ia_j}}=\frac{n^2\bar a^2-n\bar a^2-ns^2}{2}$$