物理

[论坛资料室]速通复变函数 第一期

来填坑了，但是这个系列有一个不一样的地方，就是会加上“人话”部分(就是斜体部分，但好像没什么用啊)

没逝，直接正片

众所周知，复平面中的复数可以用点表示，所以复平面中的点集(就是平面图形，换了个高大上的名称)就可以用关于复数的等式或不等式来表示

首先定义一下复平面中的邻域

$一个以z_0为圆心,\delta (\delta 为任意正数)为半径的开圆$(就是不包括边缘的圆盘)可以表示为

$|z-z_0|＜\delta$

$这就是z_0的邻域，很容易理解对不对？$

再定义去心邻域，就是把这个开圆的圆心去掉，就是所谓“去心”，表示为

$0＜|z-z_0|＜\delta$

再扔一系列定义:

$先设G为一平面点集$

内点$:若z_0为G内任意一点,如果存在z_0的一个邻域，使得此邻域里所有点都属于G，则称z_0为G的内点$

就是图形里面的一点

开集$:若G中每一点都是它的内点,则称G为开集$

就是没有边缘的图形

余集$:平面上不属于G的点的全体就是G的余集,记作\complement G$

就是平面上除这个图形以外的部分

闭集:开集的余集就是闭集

边界点$:z_0是一点,若z_0的任意邻域内既有属于G的点又有属于\complement G的点,则称z_0为G的一个边界点$

边界$:G的边界点全体称为G的边界$

孤立点$:z_0\in G,若z_0的某一去心邻域内没有属于G的点,则称z_0是G的一个孤立点$

有界集、无界集$:若存在一个以原点为圆心的圆盘能使G被包含在内,则称G为有界集，反之则为无界集$

以上几个定义顾名思义即可理解

了解了一系列定义后，我们就可以踏进复变函数的大门了！

$又众所周知,平面直角坐标系中的函数的定义域是x轴上的一个区间,那么复变函数的定义域是什么呢？$

在此引入区域的定义

$若存在区域D,则它要满足以下两个条件$

$(1)D是一个开集$

$(2)D是联通的，即D中的任何两点都可以用一条完全属于D的折线连接起来$

换言之，区域就是联通开集(就是连成一整片，不东一块西一块的开集)

$而区域D与它的边界就一起构成了一个$闭区域或闭域$,记作\overline{D}$

接下来敲个黑板

区域是开集，闭区域是闭集，两者并不一样；但是整个平面是个特例，既是区域又是闭域

嚎，相信同学们已经掌握的差不多了，可以温柔一练了

试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域

$(1)~z+\overline{z}＞0~~~~~~~~~~(2)~|z+2-i|\ge 1~~~~~~~~~~(3)~0＜\mathrm{arg}z＜\frac{\pi}{3}$

解$~~~(1)记z=x+iy,则z+\overline{z}=2x,z+\overline{z}＞0即是x＞0,它表示右半平面,这是一个区域$

    $~~~(2)|z+2-i|\ge 1即是|z-(-2+i)|\ge 1,它表示以-2+i为中心,以1为半径的圆周及其外部区域,这是一个闭区域$

    $~~~(3)这是介于两射线\mathrm{arg}z=0及\mathrm{arg}z=\frac{\pi}{3}之间的一个角形区域$

嚎，第一期就这样吧，敬请期待第二期！