数学 [论坛资料室] 初中竞赛之同余
一、带余除法的定义
（1）一般的，$ a,b∈\mathbb{Z} $,若有$ a÷b＝q.....r $，即$ a＝bq+r $
其中，$ r∈[0，b)，且q∈\mathbb{Z} $
（2）在$ a÷b＝q......r 中$
①$ r=0 时， a÷b=q ⇒ b\mid a (b可以整除a)$
②$ r≠0 时， a÷b=q......r ⇒ b\nmid a(b不可以整除a)$
二、${同}{余}$
已知a÷m=k1……c，b÷m=k2……c$（a,b,m,q∈Z）$
那我们称a,b对于模m${同}{余}$，即$ a≡b(mod m) $
因为 $ c∈(0,m-1)$且$c∈Z $
所以一共有 m种c，即可以将c分为m组（除以m余c₁的，除以m为c₂的.......）
在同一组中的a₁，a₂ 其作差$（a1-a2）÷m......0，即m\mid(a1-a2)$
三、${同}{余}$的性质
1.如果$a≡b（mod M），那么M\mid(a-b)$
2.$a≡a（mod M）⇒$自反性
3.$a≡b（mod M）$，则$b≡a（mod M）⇒$无序性
4.$a≡b（mod M）且b≡c（mod M）$，则$a≡c（mod M）⇒$传递性
5.$a≡b（mod M），c≡d（mod M）$
则⑴$a+c≡b+d（mod M）$
⑵$a-c≡b-d（mod M）$
⑶$ac≡bd（mod M）$
6.$a≡b（mod M）$，则$an≡bn（mod M）$
7.$a≡b（mod M）$，则$a^n≡b^n（mod M）$
共2条回复
时间正序
