物理

[论坛资料室]速通物竞基础（电磁学篇）

上次更新：2024.9.28

因为＊＊违禁词，可能有些地方会有点怪，看不懂的话和我说

$\color{red}{以防我忘了，在这备注下：几天后（没错延迟了）更新静电能相关内容}$

该帖专为帮助初学者解决面对大部头时，啃食缓慢，梳理困难的问题，所以不包含深入内容，仅为入门者准备。如欲进一步精进，请到题库刷题去

$\Huge{电场、电势和高斯定理}$

静电场的基本概念和规律

1.电荷守恒定律

        自然界中只存在两种电荷：正电荷与负电荷。电子中带的电荷是负电荷，质子带的电荷是正电荷，他们所带的电量都是$e=1.60×{10}^{-19}C$，电量$e$叫做元电荷。所有电量都是$e$的整数倍。

2.库仑定律

        两个静止点电荷之间相互作用力的大小与两点电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿两点电荷的连线（这点与万有引力相似，我们在之后会发现引力与电场力之间的数个相似点，这与他们的本质是分不开的，此处不再赘述，感兴趣可自行查阅有关电场与引力场的相关资料）。同号电荷相斥，异号电荷相吸。即：

        $\vec{F}_{12}=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\vec{e}_{12}\qquad{注：k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}}$

3.电场和电场强度

        电场是在电荷周围产生的一种特殊物质。电荷与电荷之间的作用是通过电场来实现的。

        放入电场中的某点电荷所受的静电力$F$跟它的电荷量$q$的比值叫做该点的电场强度（放入电场中的该点电荷我们称之为试探电荷，试探电荷应足够小，使其不对周围电场产生影响）

        表达式为：

        $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$

4.电场叠加原理

        若空间内有多个点电荷，则空间内任一点的电场强度为每个点电荷在该点的电场强度的矢量叠加：

        $\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+…+\vec{E}_k$

        原则上讲，用库仑定律和叠加定理就可解决静电学中的全部问题（前提是你不嫌烦）

高斯定理

1.电通量

        电场的通量，与穿过一个曲面的电场线的数目成正比（因为我懒，所以不放图了，请读者自行意会）

        $\phi_E=ES\cos\theta$

2.高斯定理

        对于均匀空间中的闭合曲面，$\sum_s\phi_s=4{\pi}k\sum{q}$，即曲面上的电通量之和正比于闭合曲面内部电量之和，比例系数为$4\pi{k}$。

3.高斯定理的应用

        推导真空中几种带电体周围的电场强度：

        平行极板：$E=4\pi{k}\sigma$

        长带电细线：$E=2k\frac{\lambda}{r}$

        带电球壳：$\begin{cases}E=0\quad(r\lt{R}_0)\\E=\dfrac{kQ}{r^2}\quad(r\gt{R}_0)\end{cases}$

        带电球体：$\begin{cases}E=\frac{4}{3}\pi{kr}\rho\quad(r\lt{R}_0)\\E=\dfrac{4}{3}\pi{k}\frac{\rho{R^3}}{r^2}\quad(r\gt{R_0})\end{cases}$

        以上结论建议读者自行推导加深印象

环路定理

        在静电场中（不一定是匀强电场），电荷沿任意闭合曲线绕行一周，静电力做总功为0。（原因见下文）

电势与电势能

1.电势基本概念

        众所周知，电场力与万有引力一样，都属于保守力，即电场力做功与具体路径无关，只取决于始末位置（由此推出环路定理），简单来说就是能算势能的力（这又是万有引力与电场力的相似处）。于是，我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值，定义为这两点间的电势差，即

        $U_{AB}=\frac{W_{AB}}{q}$

        如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零势能点，则电场中的某点跟参考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零势能点（可证明两者等价）。电势是标量，其正负代表电势的高低，单位是伏特（$V$）。

        电势相等的点组成的面称之为等势面。

        电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点$A$的电势，在数值上等于一个单位正电荷$A$点处所具有的电势能，因此电量为$q$的电荷放在电场中电势为$U$的某点所具有的电势能表示为

        $\varepsilon=qU$

2.常见的电势分布

        点电荷：$U=k\frac{Q}{r}$

        均匀带电球壳：$U=\begin{cases}k\frac{Q}{R}\quad(r\lt{R})\\k\frac{Q}{r}\quad(r\gt{R})\end{cases}$

        匀强电场：$U=Ed$

3.电势叠加原理

        电势和电场一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。

        重要结论：电偶极子

        真空中一对相距为$l$的带等量异号电荷的点电荷系统$(+Q,-Q)$，且$l$远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，方向为负电荷指向正电荷，将电量$Q$与两点电荷间距$l$的乘积定义为电偶极矩，记为$\vec{P}$。若空间中一点到电偶极子的距离为$r$，$r$与$l$的夹角为$\theta$，易证明该点的电势大小为

        $\varphi=\frac{k\vec{P}·\vec{r}}{r^3}$

导体的静电平衡

        在外电场的作用下，导体内自由电子有宏观移动，导体表面出现宏观电荷分布的现象，这就是静电感应现象。这个过程不会持续进行下去，最终会达到平衡状态。

        当导体的内部和表面都没有宏观的电荷移动时，导体处于静电平衡。

        易证明，要使导体内的自由电荷不发生移动，感应的电荷产生的附加电场$E'$与外场$E_0$要完全抵消。即，感应电荷产生的附加电场与外加电场在导体内部相抵消。均匀导体的静电平衡条件就是其体内场强处处为0。（此处证明简单，故略）

        从导体静电平衡出发，可以得到：

        1）导体内部，场强处处为零。

        2）导体是个等势体，导体表面是个等势面。

        3）导体表面外靠近其表面的地方的场强垂直于导体的表面。

导体的电荷分布

1.体内无电荷

        在达到静电平衡时，导体内部处处没有未抵消的静电荷，电荷只分布在导体的表面。

2.表面曲率和面电荷密度的关系

        实验研究导体电荷的定性分布：其表面处面电荷密度$\sigma$与该表面的曲率有关：

        1）在导体表面曲率为正值且较大的地方电荷面密度较大（尖端放电原理）；

        2）在曲率较小部分电荷面密度较小；

        3）当表面凹进时，曲率为负值，电荷面密度更小。

3.面电荷密度与表面场强的关系

        在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强$E$与该处导体表面的电荷面密度$\sigma$有如下关系：

        $E=4\pi{k\sigma}\qquad{备注：可使用高斯定理进行推导}$

        所以，尖端的附近场强大，平坦的地方次之，凹进的地方最弱。

导体壳与静电屏蔽

1.腔内无带电体

        1）内表面没有宏观电荷分布，电荷只能分布在外表面。

        2）腔内无电场，或者说，腔内电势处处相等。

2.腔内有带电体

        导体壳的内表面所带的电荷与腔内电荷的代数和为0。

        对于腔体带电$Q$，内部物体带电$q$，电荷分布：

        1）$Q_{腔内表面}=-q$（电力线有头有尾）

        2）$Q_{腔外表面}=-q+Q$（电荷守恒定律）

3.静电屏蔽

        腔内的电场由$q$和腔内表面的感应电荷$-q$共同决定，与腔内电荷位置、腔体的几何结构有关，与导体所处的环境没有关系。这个现象称为静电屏蔽。

电介质及其极化

1.电介质

        电介质分为两类：一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心是重合的，这种电介质称为非极性分子电介质，如$CO_2、CH_4$等及所有的单质气体；另一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心也不相重合，这种电介质称为极性分子电介质，如$H_2O、NH_3$等。对于有极分子，由于分子的无规则热运动，不加外电场时，分子的取向是混乱的，因此，不加外电场时，无论是极性分子电介质，还是非极性分子电介质，宏观上都不显电性。

2.电介质的极化

        当把介质放入电场后非极性分子正负电荷的中心被拉开，分子成为一个偶极子；极性分子在外电场作用下发生转动，趋向于有序排列。因此，无论是极性分子还是非极性分子，在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列，在介质表面上出现等量异种的极化电荷（注意：电荷不能自由移动，也不能离开介质而移到其他物体上），这个过程称为极化。

        极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电场，因此与真空相比，电介质内部的电场要减弱，但又不能像导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同，故物理上引入相对介电常数$\varepsilon$来表示电介质的这一特性，对电介质$\varepsilon$均大于1，对真空$\varepsilon$等于1，对空气$\varepsilon$可近似认为等于1。

        真空中场强为$E_0$的区域内充满电介质后，设场强减小到$E$，这种电介质的相对介电常数（用$\varepsilon$表示）为：

        $\varepsilon=\dfrac{E_0}{E}$

唯一性定理与电像法

        对带电体是导体的情形，如果我们构造出某一种电荷分布，正好满足导体的电势是个常数，则所猜测的电荷分布就是满足要求的实际情况，这个结论就是静电场的唯一性定理的一个应用。这类问题有一种特殊的方法，即电像法。

        在所考察的区域外，可以假设几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些假设出的电荷称为像电荷，而这些用虚拟的像电荷来代替感应电荷从而求解电场分布的方法，就称为电像法。

1.接地的导体平面

        一无限大接地导体板$A$前面有一点电荷$Q$，两者相隔距离是$r$。根据唯一性定理，我们只需找出一种情况使得该导体板电势为零，即可求出该空间中的电势电场分布。显然，在导体板后设想一个距离为$r$，带电量为$-Q$的电荷即可满足条件。所以，导体板前空间中的电场电势可等效为由相距$2r$的、带电量分别为$Q$和$-Q$的两枚电荷产生。注意：仅导体板的前半部分可如此等效，因为我们是以导体板电势为零为界面等价出的电像，导体板后不可如此等效，电像法仅在分界面的一侧，即真实电荷存在的一侧成立。

2.导体球

        一半径为$r$的接地导体球置于点电荷$q$所产生的电场中，点电荷到球心的距离为$h$，球上感应电荷与点电荷$q$在球外产生的电场也可用电像法解决。由经验可知，可用阿氏圆来产生球形零电势面。易证，像电荷$q'$与点电荷$q$和球心三点共线，距离球心$h'=\frac{r^2}{h}$，带电量为$q'=-\frac{r}{h}q$

        若导体球不接地且带电量为$Q$，则为满足唯一性定理的条件，须在球心补一大小为Q+防屏蔽q'的电荷以使带电量与电势满足条件。

$\Huge{电容和电容器}$

电容器的电容

        电容器是一种储备电荷的电学元件。任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看作一个电容器。电容器所带电荷$Q$与他两极板间电势差$\Delta{U}$的比值，叫做电容器的电容，记作$C$，即

        $C=\frac{Q}{\Delta{U}}$

        电容的意义就是每单位电势差的带电量。显然$C$越大，电容器的储电本领越强。而电容是电容器的固有属性，仅与两导体的形状、大小、位置及之间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。

几种常见电容器的电容

为保证基础性以及简洁性，以下所有内容略去推导，请读者自行推导或翻阅程书至相关章节

1.同心球形电容器

        外半径为$R_1$的导体球（或球壳）和内半径为$R_2$的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。若内外球壳之间充以介电常数为$\varepsilon_r$的电介质，则其电容

        $C=\frac{\varepsilon_rR_1R_2}{k(R_2-R_1)}$

        若外球壳$R_2$半径趋于无穷大，则可等价为孤立导体球壳，带入公式可得孤立导体球壳的电势为：

        $C=\frac{R\varepsilon_0}{4\pi}$

2.平行板电容器

        若两金属板平行放置，距离$d$很小，两板的正对面积为$S$，两板间充以相对介电常数为$\varepsilon_r$的电介质，则其电容可表示为

        $C=\frac{\varepsilon_rS}{d}$

3.同轴圆柱形电容器

        设两同轴柱形导体薄圆筒，柱长同为$l$，半径分别为$R_A$、$R_B$，且$R_B\gt{R_A}$，$R_B-R_A\ll{R_A}$或$R_B$或$l$。则其电容可表示为

        $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0l}{ln\frac{R_B}{R_A}}$

电容器的储能

        电池对电容器充电，实质上是通过电池做功，将电荷从电容器的一个极板上搬到另一个极板上。在此过程中，有一部分电池的化学能转化成了电容器的电能（另一部分转化成了内能）。对于一个给定的电容器，其$U-Q$图线是一条过原点的斜直线。因为$\Delta{W}=U\Delta{Q}$，所以在斜直线图中，直线和$Q$轴所包围的面积就是电池克服电场力做的功，它转化成了电容器存储的电能$E$。即

        $E=\frac{1}{2}Q_0U_0=\frac{1}{2}CU^2_0=\frac{1}{2}\frac{Q^2_0}{C}$

        静电场的能量

        将电容器储能的表达式设法改用电场强度表示，以平行板电容器为例，有

        $W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon_rS}{4\pi{kd}}{(ED)}^2=\frac{\varepsilon_rE^2}{8\pi{k}}Sd=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_rE^2Sd$

        由于式中$Sd$为平行板电容器的容积，因此$\frac{\varepsilon_rE^2}{8\pi{k}}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_rE^2$就是电容器中单位体积的储能，我们称之为电场的能量密度。

        上式虽然是由平行板电容器导出的，但是它对各向同性介质及真空的所有类型电场都成立。而整个电场区的电场能量可以通过积分求和来得到。

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