物理

[论坛资料室]一般一元三次方程求根公式推导 A.K.A.就是一条鸡肋

$\color{red}{\huge{终于更完啦！！！都来看！现在几乎没有这样的好帖了。。。}}$

${\tiny{为什么最后的\LaTeX 会显示不全啊。。。}}$

这是一个普通的一元三次方程

$ax^3+bx^2+cx+d=0~(a\ne 0)$

那么问题来了，它的求根公式是什么？

首先，我们在等式两边同除$a$，再凑个立方，令$x=z-\frac{b}{3a}$，再简简单单地展开后合并同类项，最后令

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

即得

$z^3+pz+q=0$

之后令$z=u+v$且$uv=-\frac{p}{3}$

代入再展开后合并得

$(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0$

即

$u^3+v^3+q=0$

所以有

$u^3+v^3=-q$

$u^3 v^3=-\frac{p^3}{27}$

于是$u^3,v^3$是方程

$y^2+qy-\frac{p^3}{27}=0$

两根

解得

$y=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$

令

$\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$

则有

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}$

$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

代回得

$z_0=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

这样一个根就求出来了

但是高斯告诉我们(高斯显灵！！！)，这个三次方程应该有$3$个根，那么另外两个呢？

这时我们先解一个方程$x^3=1$

容易看出，有一根是$x=1$

那么另外两根我们就可以因式分解，化为

$(x-1)(x^2+x+1)=0$

此时另外两根即方程

$x^2+x+1=0$

两根

解得

$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

其中$i$是虚数单位，定义为$i^2=-1$

这时，我们引入三次单位虚根$\omega$的概念，定义

$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

因此方程$x^3=1$三根即可表示为

$x_1=1,x_2=\omega,x_3={\omega}^2$

类似地，可以得到

$u_1=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}$

$u_2={\omega}^2 \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}$

$v_1=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

$v_2={\omega}^2 \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

于是可得

$z_0=u+v$

$z_1=\omega u+{\omega}^2 v$

$z_2={\omega}^2 u+\omega v$

最终，最激动人心的时刻终于来临了！

我们将所有的数据全部代回

$\color{red}{\Huge{前方高能！！！}}$

${\small{x_1=-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}+\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}}}$

${\small{x_2=-\frac{b}{3a}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}}}$

${\small{x_3=-\frac{b}{3a}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^2}}}}$