这次这道题贴主自己也没有搞清楚

LEAP-1C-Fourier

9月前

emm

我有一个不太成熟的小想法，物竞大神来看一下

光线总是在均匀介质中沿最短路径传播

而我们可以把这个题的所在平面看作均匀介质

把圆看成一个反射面

然后用圆的光学性质找到从A射出经过反射后过B的光路

那么这个反射点就是我们要求的P？

@三等分的伊文斯@爱数学的5汉

攒拳怒目的坚果

9月前

如果AB与圆相交，连AB与圆相交即可，否则考虑以AB为焦点和圆相切外切的椭圆，切点即所求

mo：是啊是啊，最近都没活跃了

9月前

补充楼上

如果AB切圆，切点即为P

LEAP-1C-Fourier

9月前

感谢二位答疑

4条评论

mo：是啊是啊，最近都没活跃了

9月前

其实，我不知道如何作与圆相切的椭圆。。。。。

教一下吧

LEAP-1C-Fourier 回复 mo：是啊是啊，最近都没活跃了

9月前

额，我也不会@攒拳怒目的坚果

攒拳怒目的坚果

9月前

具体做法：

（补充知识：设X Y Z是定点，则满足有向角∠PXZ=有向角∠ZYP的P的轨迹是一个以Z为中心，∠XZY内角平分线与外角平分线为渐近线的过Z的费尔巴哈双曲线）

$在OA上取点A'，使得OA\cdot OA'=R^2，其中R是圆的半径，B'同理$

令补充知识中Z=O,X=A',Y=B'做出费尔巴哈双曲线，由它过O知它必与圆有交点P，做出与以AB为焦点，过P的椭圆，下证其符合要求。

$由费尔巴哈双曲线定义知∠PA'O=∠OB'P，由OA\cdot OA'=R^2知∆AOP\cong ∆POA' 故∠PA'O=∠OPA$

同理，∠PB'O=∠OPB，故∠OPA=∠BPO

做出P在O处的切线MN，则∠MPO=∠NPO=90°,故∠MPA＝∠NPB

由椭圆光学性质知MN是椭圆切线，则MN是圆与椭圆公切线，故圆与椭圆相切。

攒拳怒目的坚果 回复 攒拳怒目的坚果

9月前

补充知识中打错一个东西：

费尔巴哈双曲线是以XY中点为中心，∠XZY的内角平分线与外角平分线所在方向为渐近线方向，过Z的双曲线。

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，

9月前

古堡朝圣问题，当OP所在直线与P点和另外两条直线分别所夹角相等时，为路径最短点

1条评论

，

9月前

我觉得可以尝试建系后对于距离和式子套用闵科夫斯基不等式，然后三角换元或者求导算最值

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ETHz

9月前

我觉得用微积分可以秒，待我去算一算。

ETHz

9月前

首先，我们知道两点间的距离可以使用两点的横纵坐标带入勾股定理计算，即$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$。我们定义圆的圆心为$O$，半径为$r$，点$P$的坐标为$(x,y)$。我们要求使得AP+BP最小的P点位置，可以将AP和BP分别表示为勾股定理的形式：$AP^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2$$BP^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2$然后我们定义AP+BP为f(x, y)，即$f(x,y)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2} + \sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}$我们要求f(x, y)的最小值，就是要求f(x, y)的极小值点。首先对f(x, y)求关于x的偏导数和y的偏导数。$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x-x_A}{\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}}$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y-y_A}{\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}} + \frac{y-y_B}{\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}}$然后，我们令偏导数等于0，找到极小值点。即$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$解这两个方程，我们可以得到极小值点。接下来，我们需要验证这个点是否为极小值点，还是极大值点，或者是函数的拐点。我们可以利用二阶偏导数的判定方法，来判断这个点的性质。首先我们计算二阶偏导数：$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{y-y_A}{((x-x_A)^2$\frac{x-x_A}{((x-x_A)^2+(y-y_A)^2)^{3/2}} + \frac{x-x_B}{((x-x_B)^2+(y-y_B)^2)^{3/2}}$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{-(x-x_A)(y-y_A)}{((x-x_A)^2+(y-y_A)^2)^{3/2}} + \frac{-(x-x_B)(y-y_B)}{((x-x_B)^2+(y-y_B)^2)^{3/2}}$现在我们需要将二阶偏导数带入二元函数的Hessian矩阵中，来求这个点的性质。对于一个二元函数 $f(x, y)$，其Hessian矩阵为：$$H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partialy \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}$$然后，我们计算Hessian矩阵中的判别式 $D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2$。当 $D > 0$ 且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$ 时，极小值点为局部极小值。当 $D > 0$ 且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$ 时，极大值点为局部极大值。当 $D < 0$时，为鞍点。当 $D = 0$时，判定失败。然后我们将极小值点代入

1条评论

ETHz

9月前

好像有更好的方法，我再去算一算

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ETHz

9月前

假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。要找到使得AP+BP最小的P点位置，即找到使得AP+BP的值最小的P点坐标(x, y)。根据勾股定理，AP的长度为√((x-a1)^2 + (y-b1)^2)，BP的长度为√((x-a2)^2 + (y-b2)^2)，其中A(a1, b1)和B(a2, b2)分别为两点的坐标，所以，AP+BP的值为√((x-a1)^2 + (y-b1)^2) + √((x-a2)^2 + (y-b2)^2)。要求这个表达式的最小值，为了简化问题，将A、B两点分别固定在坐标轴上，A点固定在x轴上，B点固定在y轴上。这样，A点的坐标为(a1, 0)，B点的坐标为(0, b2)。现在，我们将AP+BP的表达式改写为√((x-a1)^2+ √(x^2 + (y-b2)^2)。为了找到使得AP+BP最小的P点位置，我们需要对这个表达式求偏导数并令其等于0。我们先对x求偏导数，得到：(1/2) * (2(x-a1) + 2x) / (2 * √((x-a1)^2 + y^2)) + (1/2) * (2x) / (2 * √(x^2 + (y-b2)^2)) = 0化简得到：(x-a1) / √((x-a1)^2 + y^2) + x / √(x^2 + (y-b2)^2) = 0然后对y求偏导数，得到：(y) / √((x-a1)^2 + y^2) + (y-b2) / √(x^2 + (y-b2)^2) = 0接着尝试解这个方程组，找到函数的最小值......

好像有点麻烦了，算不过来了，算了算了，再试试别的方法吧。

ETHz

9月前

利用圆的性质来求解这个问题，连接AB，在AB上找到一点M，使得AM=MB。由于圆的性质，对于任意一点P在圆上，AP+PB的距离是固定的，即为AB的长度。因此，使得AP+PB最小的P点位置就在AB的中垂线上，即在M点处，因为当P点在M点时，AP和PB的长度相等，所以AP+PB的长度最小，因此，M点就是使得AP+PB最小的P点。

证毕。