物理

速通常数项级数 第二期

鸽了好久，终于开更了！

${\huge{第二节：收敛级数的基本性质}}$

根据无穷级数、发散以及和的概念，可以得出收敛级数的几个基本性质(证明在最后，今天不咕证明了)：

性质$1$   如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛于和$s$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$也收敛，且其和为$ks$

由此得到如下结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变

性质$2$   如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$分别收敛于和$s$与$\sigma$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$也收敛，且其和为$s\pm\sigma$

也说成：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减

性质$3$   在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

性质$4$   如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，那么对这级数的任意项任意加括号后所成的级数

$(u_1+u_2+...+u_{n_1})+(u_{n_1 +1}+u_{n_1 +2})+...+u_{n_2})+...+(u_{n_{k-1} +1}+u_{n_{k-1} +2}+...+u_{n_k})~~~~~~~~~~(1)$

仍收敛，且其和不变

注意   如果加括号后所成的级数收敛，那么不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如，级数

$(1-1)+(1-1)+...$

收敛于零，但级数

$1-1+1-1+...$

却是发散的

根据性质$4$可得如下推论：如果加括号后所成的级数发散，那么原来级数也发散

事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质$4$知道，加括号的级数就应该收敛了

性质$5$(级数收敛的必要条件)   如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，那么它的一般项$u_n$趋于零，即

$\lim_{n\to\infty}u_n=0$

由性质$5$可知，如果级数的一般项不趋于零，那么该级数必定发散，例如，级数

$\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-...+(-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}+...$

它的一般项$u_n=(-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}$当$n\to\infty$时不趋于零，因此该级数是发散的

注意   级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的，例如，调和级数

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...~~~~~~~~~~(2)$

虽然它的一般项$u_n=\frac{1}{n}\to 0(n\to\infty)$，但是它是发散的(证明也是在后面)

就先更到这儿