物理

二、群论基础——1

2.1群的定义

对于运算，我们抽出最一般最基本的法则，以便于是我们的运算更为普遍

群的定义：非空$G$中规定乘法运算:if①封闭②结合③单位元④逆元，称G为群

abel群：群+⑤:交换律$(改*为+,单位元\rightarrow零元,逆元\rightarrow负元)$

群元素个数：群的阶

$重排列定理:G=[I,A_{i}|i=2,3\cdots{n}]中,序列IA_{k},A_{2}A_{k}\cdots{A}_{n}A_{k}$

或$A_{k}I,A_{k}A_{2},\cdots{A}_{k}A_{n}中.A_{i}出且仅出现1次$

2.2子群与陪集

子群H:=在G中乘法下仍构成群+非空，其中除{$I$}叫真子群

若$H_{1},H_{2}是两子群,H_{3}=H_{1}\cap H_{2}也是$

左、右陪集:$aH$&$Ha:=\{ax|x\in{H}\}$&$\{xa|x\in H\},a\in{G}$

$性质:b\in aH,有aH=bH\Rightarrow{aH}任意元素可作为代表该陪集$

所有左(右)陪集构成集合族可认为是G的一个划分

H在G中指数：在G中与H相异培集个数。记作$(G:H)$

$\Rightarrow素数阶群:只有1种结构，无真子群$

2.3共轭与共轭类

a是b的共轭元素：if$\exists{g},s.t.a=gbg^{-1}$称此为相似变换

$共轭可构成一个等价类Aa=\{gag^{-1}\vert\forall{g}\in{G}\}称为共轭类$

由此可以构造相互共轭子群$H^{*}=gHg^{-1};g\in{G}$

练习：p.f.$H^{*}是群$

说明：本文转自笔记，较为跳跃，欢迎提问，指错，补充