数学

一个有意思的猜想

这是一个真命题。

证明：引理:$设H≤G,H是交换的,则存在K≤G,s.t.以下事实成立:$

$1.K\cong G/H;2.H\cong G/K$

$引理的证明:设G/H=\{k_1H,k_2H,…,k_mH\},显然可以适当选取使得K=\{k_1,…,k_m\}≤G$

$显然1.成立,下证2.成立$

$⇔∀g\in G,∃h\in H,s.t.hK=gK$

$⇔g\in hKK^{-1}⇔g\in hK$

$由左陪集的性质，设g=k_1h_1,下证h_1即为所求$

$由H的交换性，知g=h_1k_1,故g\in h_1K，显然！$

$回到原题，易知C是交换的，由引理，∃K≤G，s.t.$

$1.K\cong G/C;2.C\cong G/K$

$由Lagrange定理,|K|=\frac{|G|}{|C|}$

$显然G/K是交换的,故G‘≤K$

$故|G'|\mid |K|=\frac{|G|}{|C|},由Lagrange定理容易整理得到原式$