物理

速通常数项级数 第一期

因为我已经更过了傅里叶级数，现在就想着有始有终，直接把无穷级数这一大章都更掉吧，所以就有了这个帖子

${\huge{第一节：常数项级数的概念}}$

一般地，如果给定一个数列

$u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

那么由这数列构成的表达式

$u_1+u_2+u_3+...+u_n+...~~~~~~~~~~(1)$

叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$，即

$\sum_{i=1}^{\infty}u_i=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$

其中第$n$项$u_n$叫做级数的一般项

上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义

作(常数项)级数$(1)$的前$n$项的和

$s_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n=\sum_{i=1}^{n}u_i$

$s_n$称为级数$(1)$的部分和，当$n$依次取$1,2,3,...$时，它们组成一个新的数列

$s_1=u_1,s_2=u_1+u_2,s_3=u_1+u_2+u_3,...,s_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n,...$

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数$(1)$的收敛与发散的概念

定义   如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$的部分和数列$\{s_n\}$有极限$s$，即

$\lim_{n\to\infty}s_n=s$

那么称无穷级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$收敛，这时极限$s$叫做这级数的和，并写成

$s=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$

如果$\{s_n\}$没有极限，那么称无穷级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$发散

显然，当级数收敛时，其部分和$s_n$是级数的和$s$的近似值，它们之间的差值

$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...$

叫做级数的余项，用近似值$s_n$代替和$s$所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是$|r_n|$

从上述定义可知，级数与数列极限有着紧密的联系，给定级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$，就有部分和数列$\{s_n\}$

反之，给定数列$\{s_n\}$，就有以$\{s_n\}$为部分和数列的级数

$s_1+(s_2-s_1)+...+(s_i-s_{i-1})+...=s_1+\sum_{i=2}^{\infty}(s_i-s_{i-1})=\sum_{i=1}^{\infty}u_i$

其中$u_1=s_1,u_n=s_n-s_{n-1}(n\ge 2)$

按定义，级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$与数列$\{s_n\}$同时收敛或同时发散，且在收敛时，有

$\sum_{i=1}^{\infty}u_i=\lim_{n\to\infty}s_n$

即

$\sum_{i=1}^{\infty}u_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}u_i$

接下来小小的做几个例题(温柔一练(雾))

例$1$   无穷级数

$\sum_{i=0}^{\infty}aq^i=a+aq+aq^2+...+aq^i+...~~~~~~~~~~(2)$

叫做等比级数(又称为几何级数)，其中$a\ne 0$，$q$叫做级数的公比

试讨论级数$(2)$的收敛性

解   如果$q\ne 1$，那么部分和

$s_n=a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}=\frac{a-aq^n}{1-q}=\frac{a}{1-q}-\frac{aq^n}{1-q}$

当$|q|＜1$时，由于$\lim_{n\to\infty}q^n=0$，从而$\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{a}{1-q}$，因此这时级数$(2)$收敛，其和为$\frac{a}{1-q}$

当$|q|＞1$时，由于$\lim_{n\to\infty}q^n=\infty$，从而$\lim_{n\to\infty}s_n=\infty$，这时级数$(2)$发散

如果$|q|=1$，那么当$q=1$时，$s_n=na\to\infty$，因此级数$(2)$发散

当$q=-1$时，级数$(2)$成为

$a-a+a-a+...$

显然$s_n$随着$n$为奇数或为偶数而等于$a$或等于$0$，从而$s_n$的极限不存在，这时级数$(2)$也发散

综合上述结果，我们得到：

如果等比级数$(2)$的公比的绝对值$|q|＜1$，那么级数收敛

如果$|q|\ge 1$，那么级数发散

例$2$   证明级数$1+2+3+...+n+...$是发散的

证   这级数的部分和为

$s_n=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

显然，$\lim_{n\to\infty}s_n=\infty$，因此所给级数是发散的

例$3$   判定无穷级数$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+...+\frac{1}{n(n+1)}+...$的收敛性

解   由于

$u_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

因此

$s_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

从而

$\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n+1})=1$

所以这级数收敛，它的和是$1$

第一期更完啦！敬请期待第二期！