- 1
- 2
have~:
$若x,~ y \geqslant 1, 证明：x + y + \dfrac{1}{xy} \leqslant \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + xy$
without~:
$若x, y \geqslant 1, 证明：x + y + \dfrac{1}{xy} \leqslant \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + xy$
$\underline{\sqrt[n]{\dfrac{\sum \Re\Im}{\aleph\beth\daleth\gimel\cdots\vartheta\varrho\digamma}}}$
\underline{\sqrt[n]{\dfrac{\sum \Re\Im}{\aleph\beth\daleth\gimel\cdots\vartheta\varrow\digamma}}}
(2.1)
沿用(1.2)的方法:
$\blue{a + b = a + \dfrac{\sqrt7 - a}{a + 1} \xlongequal[\quad]{分常} -1 + a + \dfrac{1 + \sqrt7}{a + 1} = -2 + (a + 1) + \dfrac{1 + \sqrt7}{(a + 1)} \geqslant -2 + 2\sqrt{1 + \sqrt7}}$
检验省略
，$\fbox{3.例题精讲}$
$\sqrt[5]{1+\sqrt5{1+\sqrt5}}$
$\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} $
$\dfrac{a + b}{2}$
$\sqrt{ab}$
$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}$
$\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a}} +{\dfrac{1}{b}}}$
$\dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
$\frac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}$
$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
$\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} \geqslant \dfrac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}$
$\begin{cases} a^2 + b^2 \geqslant 2ab(用得很少) \\ \begin{cases} ab \leqslant \dfrac{a ^2 + b^2}{2}~~~(2)\\ ab \lequslant {(\dfrac{a + b}{2})}^2~~~(3)\end{cases}$
$\begin{cases} a^2 + b^2 \geqslant 2ab(用得很少) \\ \begin{cases} ab \leqslant \dfrac{a ^2 + b^2}{2}~~~(2)\\ ab \leqslant {(\dfrac{a + b}{2})}^2~~~(3)\end{cases} \end{cases}$
$另外，均值不等式可经过变形成为“权方和不等式”：$
$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} \geqslant \dfrac{{(a + b)}^2}{x + y}$
$其中a,b,x,y \gt 0,当且仅当\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}取“=”$
初步了解(回顾)知识后，是时候学习解题技巧了!
$\fbox{2.常用解题方法}$
$\fcolorbox{purple}{cyan}{1.}换元消元法$
------将复杂代数式换元成(类似)基本不等式的形式再消元
$\fcolorbox{purple}{cyan}{2.}分离常数法$
------将复杂含参非齐次分式分离成 常数 + ? + 常数/?的假分式形式利于使用基本不等式$
$\fcolorbox{purple}{cyan}{3.}主元法$
------用含一个字母的代数式表示另一个字母，通常需要配合其它方法
${\fcolorbox{purple}{cyan}{4.}不完全因式分解}$
------本身不能因式分解的式子加加减减成可因式分解的，常再利用${(2)}$或${(3)}$解决
${\fcolorbox{purple}{cyan}{5.}“1”的妙用}$
------上面的方法均失效时考虑，${\orange{非常爱考!}}$
(注：下文中将出现的形如${\fcolorbox{purple}{cyan}{n.}}$表示将使用第n 个方法)
$\cos{\<\>}$
$\underline{abcd\sqrt[3]{\dfrac{\sum x_i}{\prod x_i}}}$
$\sqrt[2]{2 + \sqrt[3]{3 + \sqrt[4]{4 + \sqrt[5]{5 + \sqrt[6]{\varpi + \varrho}}}}}$
$\sout{\sqrt[2]{2 + \sqrt[3]{3 + \sqrt[4]{4 + \sqrt[5]{5 + \sqrt[6]{\pi + \rho}}}}}}$
$\Big{\orange{%}}$
我也想试一下$a^b$ $a_b$
$\lvert \vec a，\overrightarrow a \lvert$
$|\vec a，\overrightarrow a|$
$\|$
$\vec{x^2}$
$\lvert \overrightarrow a \lvert$
$\lvert \vec a，\overrightarrow a \lvert$
$| \overrightarrow a |$
$\| \mathrmd x \|$
$\circled{1}$ \circled{1}
$\mho$ \mho
$\ell$ \ell
$\bigstar$ \bigstar
$若椭圆\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1和直线y = kx + m交于A(x_1, y_1)，B(x_2, y_2)两点$
，三个字
$\text{i}$
$\mathrm{i}$
\text{i}
\mathrm{i}
$\text{洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）}$
$\xlongequal[\triangle]{H_2SO_4}$
\xlongequal[\triangle]{H_2SO_4}
$\xlongequal[\quad]{H_2SO_4}$
\xlongequal[\quad]{H_2SO_4}
$\xlongequal[\triangle]{\quad}$
$从名字就可以看出，这是二元均值不等式的推广，在题目中也有较多的应用$
$\sec \Big\langle \vec n，\vec m \Big\rangle$
\sec \Big\langle \vec n，\vec m \Big\rangle
$\underline{abcd\sqrt[3]{\dfrac{\sum x_i}{\prod x_i}}$
\underline{abcd\sqrt[3]{\dfrac{\sum x_i}{\prod x_i}}
(1)dfrac:
$若椭圆\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1和直线y = kx + m交于A(x_1, y_1)，B(x_2, y_2)两点$
$求弦长|AB| = \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$
$答：\underline{\blue{\sqrt{1 + k^2}\cdot\dfrac{\sqrt{4(-\dfrac{m^2}{a^2b^2} +\dfrac{k^2}{b^2} + \dfrac{1}{a^2})}}{\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{k^2}{b^2}}}}$
(2)frac:
$若椭圆\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1和直线y = kx + m交于A(x_1, y_1)，B(x_2, y_2)两点$
$求弦长|AB| = \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$
$答：\underline{\blue{\sqrt{1 + k^2}\cdot\frac{\sqrt{4(-\frac{m^2}{a^2b^2} +\frac{k^2}{b^2} + \frac{1}{a^2})}}{\frac{1}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}}}}$