物理

速通傅里叶级数 第三期

${\huge{第四节：周期为2l的周期函数的傅里叶级数}}$

直接上定理

定理   设周期为$2l$的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin\frac{n\pi x}{l})~~(x\in C)$

$a_n =\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx~(n=0,1,2,3,...)$

$b_n =\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx~(n=1,2,3,...)$

$C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$

当$f(x)$为奇函数时

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin\frac{n\pi x}{l}~~(x\in C)$

$b_n =\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx~(n=1,2,3,...)$

当$f(x)$为偶函数时

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos\frac{n\pi x}{l}~~(x\in C)$

$a_n =\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx~(n=0,1,2,3,...)$

证明先鸽了

${\huge{第五节：傅里叶级数的复数形式}}$

老样子，直接速通定理

傅里叶级数的复数形式为

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{\frac{n\pi x}{l}i}$

其中

$c_n =\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}i}dx~(n=0,\pm1,\pm2,...)$

这就是傅里叶系数的复数形式

第三期也完结啦！也就是你们已经学完知识点部分啦！

接下来的第四期，我将补上鸽了的所有证明，敬请期待