物理

速通傅里叶级数 第二期

没事，直接进入正题

${\huge{第二节：函数展开成傅里叶级数}}$

设$f(x)$是周期为周期为$2\pi$的周期函数，且能展开为三角级数

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos kx +b_k \sin kx)~~~~~~~~~~(5)$

然后直接速通$a_n ,b_n$的表达式，如果你们想要证明方法，我可以把所有鸽了的证明汇集在同一个帖子里

$a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx~(n=0,1,2,3,...)$

$b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx~(n=1,2,3,...)~~~~~~~~~~(6)$

如果上述积分都存在，这时它们定出的系数$a_0 ,a_1 ,b_1 ,...$叫做函数$f(x)$的傅里叶$(Fourier)$系数，将这些系数代入$(5)$式右端，所得的三角级数

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx +b_n \sin nx)$

叫做函数$f(x)$的傅里叶级数

下面叙述一个收敛定理

定理(收敛定理，狄利克雷$(Dirichlet)$充分条件)

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$

当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$

再总结一下，记

$C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$

在$C$上就成立$f(x)$的傅里叶级数展开式

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx +b_n \sin nx),~x\in C~~~~~~~~~~(7)$

应该注意，如果函数$f(x)$只在$[-\pi ,\pi]$上有定义，并且满足收敛定理的条件，那么$f(x)$也可以展开成傅里叶级数，事实上，我们可在$[-\pi ,\pi)$或$(-\pi ,\pi]$外补充函数$f(x)$的定义，使它拓广成周期为周期为$2\pi$的周期函数$F(x)$

按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓

再将$F(x)$展开成傅里叶级数，最后限制$x$在$(-\pi ,\pi)$内，此时$F(x)=f(x)$，这样便得到$f(x)$的傅里叶级数展开式，这级数在区间端点$x=\pm\pi$处收敛于$\frac{f(\pi ^-)+f(\pi ^+)}{2}$

${\huge{第三节：正弦级数和余弦级数}}$

速通一下，易证奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

$\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin nx$

其中

$b_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx~(n=1,2,3,...)$

偶函数的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nx$

其中

$a_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx~(n=0,1,2,...)$

在实际应用中，有时还需要把定义在区间$[0,\pi]$的函数$f(x)$展开成正弦级数或余弦级数

根据前面讨论的结果，这类展开问题可以按如下的方法解决：

设函数$f(x)$定义在区间$[0,\pi]$上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间$(-\pi ,0)$补充函数$f(x)$的定义，得到定义在$(-\pi ,\pi]$上的函数$F(x)$，使它在$(-\pi ,\pi)$上成为奇函数(偶函数)

按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)

然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数(余弦级数)，再限制$x$在$(0,\pi]$上，此时$F(x)=f(x)$，这样便得到$f(x)$的正弦级数(余弦级数)展开式

注：对$f(x)$作奇延拓时，若$f(0)\ne 0$，则规定$F(0)=0$

第二期完结啦！敬请期待第三期