物理

速通傅里叶变换

感谢@永不停息的简谐振动 对本帖提出的修改意见，已采纳

事先声明：我是蒟蒻，如有出差错的地方，敬请指出！谢谢！

好了，直接进入正题

我们把由三角函数组成的函数项级数称为三角级数，这里着重研究如何把函数展开成三角级数

${\huge{第一节：三角级数~~~三角函数系的正交性}}$

我们都熟悉这个正弦函数：

$y=A\sin(\omega t+\varphi)$

其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相

而想要研究任意周期函数，我们可以将周期为$T(T=\frac{2\pi}{\omega})$的周期函数用一系列以$T$为周期的正弦函数

$A_n\sin(n\omega t+{\varphi}_n)$

组成的级数来表示，记为

$f(t)=A_0 +\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+{\varphi}_n)~~~~~~~~~~(1)$

其中$A_0 ,A_n ,{\varphi}_n (n=1,2,3,...)$都是常数

在电工学上，这种展开称为谐波分析

其中$A_0$称为$f(t)$的直流分量，$A_1\sin(\omega t+{\varphi}_1)$称为一次谐波(或基波)，$A_2\sin(2\omega t+{\varphi}_2),A_3\sin(3\omega t+{\varphi}_3),...$依次称为二次谐波，三次谐波，等等

为了以后讨论方便起见，我们将$A_n\sin(n\omega t+{\phi}_n)$按三角公式变形，得

$A_n\sin(n\omega t+{\varphi}_n)=A_n\sin {\varphi}_n \cos n\omega t+A_n\cos{\varphi}_n \sin n\omega t$

并且令$\frac{a_2}{2}=A_0,a_n=A_n \sin {\varphi}_n,b_n=A_n \cos {\varphi}_n,\omega=\frac{\pi}{l}($即$T=2l)$，则$(1)$式右端的级数就可以改写为

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos\frac{n\pi t}{l}+b_n \sin\frac{n\pi t}{l})~~~~~~~~~~(2)$

形如$(2)$式的级数叫做三角级数，其中$a_0 ,a_n ,b_n (n=1,2,3,...)$都是常数

令$\frac{\pi t}{l}=x,(2)$式成为

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx +b_n \sin nx)~~~~~~~~~~(3)$

这就把以$2l$为周期的三角级数转换成以$2\pi$为周期的三角级数

下面讨论以$2\pi$为周期的三角级数$(3)$

首先介绍三角函数系的正交性

所谓三角函数系

$1,\cos x ,\sin x ,\cos 2x ,\sin 2x ,...,\cos nx ,\sin nx ,...~~~~~~~~~~(4)$

在区间$[-\pi ,\pi]$上正交，就是指在三角函数系$(4)$中任何不同的两个函数的乘积在区间$[-\pi ,\pi]$上的积分等于零，即

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx=0~(n=1,2,3,...)$

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx=0~(n=1,2,3,...)$

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \cos nxdx=0~(k,n=1,2,3,...)$

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx \cos nxdx=0~(k,n=1,2,3,...)$

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \sin nxdx=0~(k,n=1,2,3,...)$

证明过程就不放出来了，请佬们自证

在三角函数系$(4)$中，相同两个函数的乘积在区间$[-\pi ,\pi]$上的积分不等于零，即

$\int_{-\pi}^{\pi}1^2 dx=2\pi ,~\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}^2 nxdx=\pi ,~\int_{-\pi}^{\pi}{\cos}^2 nxdx=\pi ~(n=1,2,3,...)$

第一节结束，这个帖子完结！剩余会另外发帖