数学 数学问题征解（第四期）
${\text{设四棱锥 P-ABCD 被截面}}{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ 所截，其中 }}{A_1}{\text{ 在 PA 上，其余三点同理. 证明下列恒等式：}}$
$S_{\triangle ABD} \times {\frac{PC}{PC_1}}+S_{\triangle BCD} \times {\frac{PA}{PA_1}}=S_{\triangle ABC} \times {\frac{PD}{PD_1}}+S_{ \triangle ACD} \times {\frac{PB}{PB_1}}$
🤔
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以下是卷怪的解答：
$常用结论：设W-XYZ是一个三棱锥，X'在WX上，其余同理，则\frac{V_{W-XYZ}}{V_{W-X'Y'Z'}}=\frac{WX \cdot WY \cdot WZ}{WX' \cdot WY' \cdot WZ'}$
证明：
$V_{W-XYZ}=V_{X-WYZ}=\frac{1}{3} \cdot h_{X-面WYZ} \cdot S_{∆WYZ}$
$=\frac{1}{3} \cdot (\cos〈XW,面WYZ〉 \cdot XW) \cdot (\frac{1}{2} \cdot WY \cdot WZ \cdot \sin∠ZWY)$
$=(\frac{1}{6} \cdot \cos〈XW,面WXZ〉 \cdot \sin∠ZWY)(WX \cdot WY \cdot WZ)$
另外一式子同理，作比即知常用结论成立.
$回到原题，一方面，有：(记A'=A_{1}其余同理）记d=h_{P-面ABCD}$
$V_{P-A'B'C'D'}=V_{P-A'B'C'}+V_{P-A'C'D'}$
$=\frac{PA' \cdot PB' \cdot PC'}{PA \cdot PB \cdot PC} \cdot V_{P-ABC}+\frac{PA' \cdot PC' \cdot PD'}{PA \cdot PC \cdot PD} \cdot V_{P-ACD}$
$=\frac{d}{3}(\frac{PA' \cdot PB' \cdot PC'}{PA \cdot PB \cdot PC} \cdot S_{∆ABC}+\frac{PA' \cdot PC' \cdot PD'}{PA \cdot PC \cdot PD} \cdot S_{∆P-ACD})$
$同理，有V_{P-A'B'C'D'}=$
$=\frac{d}{3}(\frac{PD' \cdot PB' \cdot PC'}{PD \cdot PB \cdot PC} \cdot S_{∆DBC}+\frac{PA' \cdot PB' \cdot PD'}{PA \cdot PB \cdot PD} \cdot S_{∆ABD})$
比较上面两式，知：
$\frac{d}{3}(\frac{PA' \cdot PB' \cdot PC'}{PA \cdot PB \cdot PC} \cdot S_{∆ABC}+\frac{PA' \cdot PC' \cdot PD'}{PA \cdot PC \cdot PD} \cdot S_{∆ACD})$
$=\frac{d}{3}(\frac{PD' \cdot PB' \cdot PC'}{PD \cdot PB \cdot PC} \cdot S_{∆DBC}+\frac{PA' \cdot PB' \cdot PD'}{PA \cdot PB \cdot PD} \cdot S_{∆ABD})$
$在两边同乘\frac{3 \cdot PA \cdot PB \cdot PC \cdot PD}{d \cdot PA' \cdot PB' \cdot PC' \cdot PD'}即可证明原式$