数学

如何用基本不等式解决，不用导数

$令u=2x+y,v=3xy,条件式化为u^2=1+v.$

$原式化为\frac{2u}{5u^2-3v}=\frac{2u}{2u^2+3}.$

$注意这是u的单变元函数，结合均值不等式知原式∈(0,\frac{\sqrt{6}}{6}]$

$由均质不等式4=(1+x)(1+2y)≥2\sqrt{x}*2\sqrt{2y}$

$知xy≤\frac{1}{2}$

$故原式≥\frac{9}{4}$

$做换元u=x+y,v=x-y$

$原式化为2+\frac{2v}{u}+\frac{u}{v}≥2+2\sqrt{2}$