数学

数学区去水化项目——拉格朗日插值公式

前提问题

求多项式${f(x)}$

使得${f(1)=1}$ ${f(-1)=3}$ ${f(2)=3}$

我们不妨从抛物线入手

设${f(x)=ax^2+bx+c}$满足条件

容易解得${a=1，b=-1，c=1}$

由此，可以推满足条件的所有多项式${f(x)=x^2-x+1+(x-1)(x+1)(x-2)h(x)}$

其中h(x)为任意多项式

对于${p(x),q(x),r(x)}$的计算:

以${p(x)}$为例：

显然有${p(x)=c(x+1)(x-2)}$

将其带入${p(1)=1}$

有${p(x)=}$ $\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}$

化简得${p(x)=}$ $\frac{-1}{2}$ ${(x^2-x-2)}$

${q(x),r(x)}$同理可得

最 终 公 式

generally,we suppose that

$a，b，c$

are not equals to each other

so mutinomial $f(x)$ which coincident

$f(a)=e，f (b)=f，f (c)=g$

can infer from these formula below

$\color{purple}\large{f(x)=e·p(x)+f·q(x)+g·r(x)}$                                           i

for${p(x),q(x),r(x)}$

$\color{purple}\large{p(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}$

$\color{purple}\large{q(x)=\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}}$                                ii

$\color{purple}\large{r(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}}$

we usually call $i$and$ii$ $\color{red}{Languerange\ interpolation\ formula}$

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