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谢谢！盛情难却:)
（还有怎么码?平板能直接康吗
用$\LaTeX$
等明天码
好谢谢
这过程不算长吧。。。
想当年我也是在INK码了半小时的 。。。
不想看的话有现成的
易知$\omega=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$
则题目可化为$\lvert \frac{-a+ \sqrt{a^2-4b}}{2}-\frac{p}{q} \rvert \geqslant \frac{C}{q^2}$
或$\lvert \frac{-a- \sqrt{a^2-4b}}{2}-\frac{p}{q} \rvert \geqslant \frac{C}{q^2}$
两边同乘$2$，化为：
$\lvert \sqrt{a^2-4b}-\frac{2p+aq}{q} \rvert \geqslant \frac{2C}{q^2}$
或$\lvert \sqrt{a^2-4b}+\frac{2p+aq}{q} \rvert \geqslant \frac{2C}{q^2}$
于是问题转化为存在$C＞0$，使得$\lvert \sqrt{n}-\frac{p}{q} \rvert \geqslant \frac{2C}{q^2}$
其中$n\in \mathbb{N}^{*}，且\sqrt{n}$为无理数。
不妨设
$$\frac{k}{q}＜\sqrt{n}＜\frac{k+1}{q}，k\in \mathbb{N}$$
则
$$k^2+1\leqslant nq^2 \leqslant (k+1)^2-1$$
于是
$$\lvert n-\frac{k^2}{q^2} \rvert \geqslant \frac{1}{q^2}，\lvert n-\frac{(k+1)^2}{q^2} \rvert \geqslant \frac{1}{q^2}$$
于是
$$\frac{1}{q^2} \leqslant \lvert n-\frac{k^2}{q^2} \rvert = \lvert \sqrt{n}-\frac{k}{q}\rvert · \lvert \sqrt{n}+\frac{k}{q} \rvert \leqslant \lvert \sqrt{n}- \frac{k}{q} \rvert · 2\sqrt{n}$$
且
$$\frac{1}{q^2} \leqslant \lvert n-\frac{(k+1)^2}{q^2} \rvert = \lvert \sqrt{n}-\frac{k+1}{q}\rvert · \lvert \sqrt{n}+\frac{k+1}{q} \rvert \leqslant \lvert \sqrt{n}- \frac{k+1}{q} \rvert ·( 2\sqrt{n}+1)$$
因此
$$\lvert \sqrt{n}-\frac{p}{q} \rvert \geqslant \min(\lvert \sqrt{n}-\frac{k}{q} \rvert,\lvert \sqrt{n}-\frac{k+1}{q}\rvert)\geqslant \frac{1}{q^2}·\frac{1}{2\sqrt{n}+1}$$
易知$C＞0$
证毕
