数学

这道题用基本不等式怎麽做？

具体如下：

$由题意得$

${(x + 3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta})}^2 + {(x + a\sin{\theta} + a\cos{\theta})}^2 \geqslant \dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow {[3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} - a(\sin{\theta} + \cos{\theta})]}^2 \geqslant{1}{4}$

$\because \theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$

$\Rightarrow a_1 \geqslant \dfrac{3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \dfrac{1}{2}}{\sin{\theta} + \cos{\theta}}, a_2 \leqslant \dfrac{3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} - \dfrac{1}{2}}{\sin{\theta} + \cos{\theta}}$

$(恒成立问题，即先分参换元，再"大就大于最大值,小就小于最小值"，由于上不等式有两解，同时还要分讨)$

$令 x = \sin{\theta} + \cos{\theta}, 则 x \in [1, \sqrt{2}]$

$\blue{(1.)} 当 a \geqslant \dfrac{3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \dfrac{1}{2}}{\sin{\theta} + \cos{\theta}}$

$于是有：(\red{这里{\huge{不一定}}用到基本不等式求最大值！看取值区间!!!})$

$f(x) = \dfrac{3 + (x^2 - 1) + \dfrac{1}{2}}{x} = x + \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x}$

$显然 f(x) 在 [1 , \sqrt2] 上单调递减$

$\therefore f_{max}(x) = f(1) = \dfrac{7}{2}$

$\Rightarrow a \geqslant \dfrac{7}{2}$

$类似的,$

$\blue{(2.)} 当 a \leqslant \dfrac{3 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} - \dfrac{1}{2}}{\sin{\theta} + \cos{\theta}}$

$\because x \in [1, \sqrt2]$

$于是有：(这里用到基本不等式求最值了)$

$g(x) = \dfrac{3 + (x^2 - 1) - \dfrac{1}{2}}{x} = x + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt6$

$当且仅当 \sin{\theta} + \cos{\theta} = x = \dfrac{\sqrt6}{2} 取等号$

$\Rightarrow a \leqslant g_{min}(x) = \sqrt6$

$综上, a \in (-\infty, \sqrt6] \cup [\dfrac{7}{2}, +\infty)$.