数学

求助一个数学题

$记S_i=\sum_{j=0}^{i} x_j,a_i=\arcsin S_i,0≤i≤n,则a_{i-1}≤a_i,S_i=\sin a_i,a_0=0,a_n=\frac{π}{2}$

$原式=\sum_{i=1}^{n} \frac{S_i-S_{i-1}}{\sqrt{1-S_{i-1}^2}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\sin a_i -\sin a_{i-1}}{\sqrt{1-\sin ^2 a_{i-1}}}$

$=\sum_{i=1}^n \frac{2 \sin \frac{a_i -a_{i-1}}{2} \cos \frac{a_i +a_{i-1}}{2}}{\cos a_{i-1}}$

$≤\sum_{i=1}^n \frac{2 \sin \frac{a_i -a_{i-1}}{2} \cos \frac{a_{i-1} +a_{i-1}}{2}}{\cos a_{i-1}}$

$=\sum_{i=1}^n \frac{2 \sin \frac{a_i -a_{i-1}}{2} \cos a_{i-1}}{\cos a_{i-1}}$

$=\sum_{i=1}^n 2 \sin \frac{a_i -a_{i-1}}{2}$

$\lt \sum_{i=1}^n 2 \frac{a_i -a_{i-1}}{2}=a_n -a_0=\frac{π}{2}$