物理

哥德尔不完全性定理

　　（数学区没人，就发这了）

前言

昨天看了B站毕导的视频，感觉非常有意思，今天来分享一下。

库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906年4月28日—1978年1月14日），美籍奥地利数学家、逻辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的逻辑学家之一。他于1937年提出了不完全性定理（又称不完备性定理），其内容如下：

第一定理

任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

设T是一个包含皮亚诺算术在内的形式系统，那么存在一个语句A，它断言自己在T中的不可证性，使得

（i）若T是协调的，那么T不能推出A，即A不是T 的定理；

（ii）若T是不协调的，那么T不能推出~A，即~A也不是T 的定理。

第二定理

如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

历史背景

20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是：

建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；

公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）

和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。

（值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。）

希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。

正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。

1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。

由于哥德尔的第一条定理有不少误解。我们举出一些例子：

该定理并不意味着任何有意义的公理系统都是不完备的。该定理需假设公理系统可以“定义”自然数。不过并非所有系统都能定义自然数，就算这些系统拥有包括自然数作为子集的模型。例如，欧氏几何是可以被一阶公理化为一个完备的系统的。

证明

说了这么多，这个定理到底是怎么证明的呢？

我们要做的第一步是构造一种对应关系，使得把数学中所有的东西都映射到某个数，称为哥德尔数。

这样，我们就可以把对 数学的性质 的讨论，变为对 数的性质 的讨论。

数学最基础的是符号，我们先定义12个最基础的数学符号以及n个未知数。

基本数学符号　　哥德尔数

~ 非　　　　　　　　1

∨ 或　　　　　　　　2

⊂ 如果...那么...　　　3

∃ 存在　　　　　　　4

= 等号　　　　　　　5

0 零　　　　　　　　6

s 后继　　　　　　　7

( 左括号　　　　　　8

) 右括号　　　　　　9

, 逗号　　　　　　　10

+ 加号　　　　　　　11

× 乘号　　　　　　　12

变量符号　哥德尔数

　　x　　　　13

　　y　　　　17

　　z　　　　19

其他变量　后续质数

这12个符号加上字母基本能表示一切了，例如皮亚诺算术公理：

（1）∃0　　　　　　　　存在0。

（2）(∃x)(x=sy)　　　　　存在自然数x为y的后继。

（3）~(sx=0)　　　　　　0不为任意自然数的后继。

（4）(sx=sy)⊂(x=y)　　　对自然数x,y，若x,y的后继相等，则x,y相等。

那么怎么将一个命题转换为哥德尔数呢？

...

今天先打这么多吧，剩下的证明明天再弄。

你的建议可以留在评论区。