线性代数详解(有矩阵)

物理
线性代数详解(有矩阵)

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爱数学的5汉(cbb) 更新于2024-7-2 05:42:16

总算决定要开个真贴了


原书《简明线性代数》本人稍稍改遍了一些题目和提炼了一些重点......


(但是还是有很多不会的,望各大佬指教谢谢)



顺路更一点线性代数:



含n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组,他的一般形式是:



$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\..................\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n=b_s\end{matrix}\right.$$



其中$a_{11};a_{21};...a_{sn}$是系数,$b_1,b_2,b_n$是常数,一般写在等式右边,方程个数$s$和未知数$n$可以相等,也可$s\lt n$或$s\gt n$



对于此线性方程组,若$x_1,x_2,...,x_n$分别用数$c_1,c_2,...c_n$带入后,每个方程变成恒等式,那么称n元有序数组$\begin{pmatrix}c_1,c_2,...c_n\end{pmatrix}$是线性方程组的一个解,方程组的解的集合称为解集





2.求解线性方程组



例:求解方程$\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=2\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\-x_1+-5x_2+4x_3=10\\2x_1+7x_2+x_3=1\end{matrix}\right.$


看似很难,实则简单


为了方便,我们用①+②$\times$2表示将第二个方程的2倍倍加到方程一上,用记号$\begin{pmatrix}①,③\end{pmatrix}$表示将方程一,三互换位置,用记号①$\times$3表示用三乘以第一个方程



解题过程如下


$\begin{matrix}②+①\times -3\\③+①\times 1\\④+①\times -2\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=3\\~~~-5x_2-x_3=3\\~~~-2x_2+5x_3=12\\~~~x_2-x_3=-3\end{matrix}\right.$


$\begin{pmatrix}②,④\end{pmatrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=3\\~~~x_2-x_3=-3\\~~~-2x_2+5x_3=12\\~~~-5x_2-x_3=3\end{matrix}\right.$


$\begin{matrix}③+②\times 2\\④+②\times 5\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=3\\~~~x_2-x_3=-3\\~~~~~~3x_3=6\\~~~~~~-6x_3=12\end{matrix}\right.$


$\begin{matrix}③+④\times 2\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=3\\~~~x_2-x_3=-3\\~~~~~~3x_3=6\\~~~~~~0=0\end{matrix}\right.$


$\begin{matrix}③\times \frac{1}{3}\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2+x_3=3\\~~~x_2-x_3=-3\\~~~~~~x_3=2\\~~~~~~0=0\end{matrix}\right.$


$\begin{matrix}①+③\times -1\\②+③\times 1\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1+3x_2=0\\~~~x_2=-1\\~~~~~~x_3=2\\~~~~~~0=0\end{matrix}\right.$


$\begin{matrix}①+②\times -3\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1=3\\~~~x_2=-1\\~~~~~~x_3=2\\~~~~~~0=0\end{matrix}\right.$


由此题可以看到,我们将方程做了三种变换


1.将一方程的倍数加到另一方程上;


2.将两方程位置互换


3.用一个非0数乘以另一个方程


这三种变换称为$\large{线性方程组基本变换}$


我们通过观察发现,解线性方程组的计算都是对系数和常数项进行运算,so我们可以将例中方程化为:

$\begin{bmatrix}1&3&1\\3&4&2\\-1&-5&4\\2&7&1\end{bmatrix}$的系数矩阵和$\begin{bmatrix}1&3&1&2\\3&4&2&9\\-1&-5&4&10\\2&7&1&1\end{bmatrix}$的增广矩阵

由$s\times m$个数排成$s$行$m$列的一张表称为$s\times m$矩阵,其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素,第$i$行与$j$列交叉位置的元素称为矩阵的$\begin{pmatrix} i,j\end{pmatrix}$元

例如:以上列出的增广矩阵的(2,4)元是9,(4,2)元是7

矩阵通常用大写字母$A,B,C,...$来表示,一个$s\times m$矩阵可以被简写为$A_{s\times m}$,它的$\begin{pmatrix}i,j\end{pmatrix}$元记为$A,\begin{pmatrix}i,j\end{pmatrix}$若矩阵A的(I,j)元为$a_{ij}$那么可以记为$A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}$

元素全为零的的矩阵称为零矩阵,简记为0

若行数与列数相等,则称为方阵,m行m列的方阵也被称为m级矩阵

以下列出利用矩阵求解线性方程例的值



大家一起加油



(反正听学校同学说大部分竞赛都要学吧,就发物理区啦~)

代数基础 线性方程组的解
代数基础 线性方程组的解
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「紫川帛玟」
21天前

榜一(bushi)

支持数学党!jj-bixin

祝贺

8条评论
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爱数学的5汉(cbb)
21天前

感谢!jj-dalaojj-bixin

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物理之城 回复 爱数学的5汉(cbb)
21天前

矩阵会出错的,还是直接截图吧

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爱数学的5汉(cbb) 回复 物理之城
21天前

OK OK

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爱数学的5汉(cbb) 回复 物理之城
21天前

@物理之城 佬看看这个矩阵有问题吗?

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物理之城 回复 爱数学的5汉(cbb)
21天前

网页版正常,平板可能会出问题 @一职的man(疯狂攒质子ing) 

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一职的man 回复 物理之城
20天前

最后“这三种变换”后面出现乱码了

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爱数学的5汉(cbb) 回复 物理之城
16天前

@物理之城 如果将矩阵中的1&2&3&2改为1~2~3~2可以显示吗?

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物理之城 回复 爱数学的5汉(cbb)
11天前

"~"表示一个空格,"&"表示对齐

而且,"~"容易触发敏感词

建议网页版截图发

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永不停息的简谐振动
19天前

请问佬是怎么打出矩阵和大括号的?