物理

从数字表示到物理

简单介绍一下四元数和SU(2)群（二维特殊酉群）

前期准备：群，环的概念

考虑环$K=(K,+,·)$上，

含有非零元，且集合$K / left { 0 ight }  $是Able乘法群，我们称环$K$是域 

$(K,+,·)$

全体有理复数$a+bi$容易验证可以构成域，称为$Gauss$数域。

记复数域$C:=left { alpha=(a,b)|a,b in R;(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);(a,b)·(c,d)=(ac-bd,bc+ad) ight } $

为此，我们引入代数基本定理，任何复系数多项式都有复根，并有推论：C上任意复系数多项式 $P(z)$所有根在$C$上并有此性质称$C$为代数闭域

下面引入超复数数系，$ 2^{n}$元数，

n=0:实数

n=1:复数

n=2:哈密尔顿数（四元数）

n=3:Cayley代数

下面重点讨论四元数系$Q(R):=left { alpha |alpha=a+bi+cj+dk;a,b,c,d in R ight } $

熟悉群论的同学可能已经看出这和SU(2)群有千丝万缕的联系了(SU(2)可以看成是由四元数构成的)

引入计算规则：$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1;ij=-ji=k;jk=-kj=i;ki=-ik=j$

可这和物理有什么联系呢？

相信二轮时大家都学过大名鼎鼎的Pauli矩阵：

$sigma_{x}=egin{pmatrix} 0 &1\1&0 end{pmatrix} o i$

$sigma_{y}=egin{pmatrix} 0& -i \ i & 0 end{pmatrix} o j$

$sigma_{z}=egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 &-1end{pmatrix} o k$

$egin{pmatrix} 1 & 0\ 0& 1 end{pmatrix} o1$

这样，我们对一个刚体绕定轴$ mathbf{n}=(cos alpha,coseta ,cos gamma$转动$ heta$角可以描写为：$Q(mathbf{n}, heta)=cosrac{ heta}{2}+sinrac{ heta}{2}(cosalpha ·i+coseta·j +cosgamma ·k )$

讨论刚体转动合成时，只需将四元数相乘即可，非常方便。

再考虑$-Q(mathbf{n}, heta)=Q(mathbf{n}, heta+2pi｝$前面说过，可以将SU(2)群看成“转动”，不妨记为$SU(2)=left { Q(mathbf{n}, heta)|mathbf{n}|=1,0 le heta le 4pi ight }$

对比量子力学的旋量$psi$恰好与之对应！