从数字表示到物理

物理
从数字表示到物理

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羲囍 更新于2024-6-27 06:28:02

简单介绍一下四元数和SU(2)群(二维特殊酉群)

前期准备:群,环的概念

考虑环$K=(K,+,·)$上,

含有非零元,且集合$K / left { 0 ight }  $是Able乘法群,我们称环$K$是域 

$(K,+,·)$

全体有理复数$a+bi$容易验证可以构成域,称为$Gauss$数域。

记复数域$C:=left { alpha=(a,b)|a,b in R;(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);(a,b)·(c,d)=(ac-bd,bc+ad) ight } $

为此,我们引入代数基本定理,任何复系数多项式都有复根,并有推论:C上任意复系数多项式 $P(z)$所有根在$C$上并有此性质称$C$为代数闭域

下面引入超复数数系,$ 2^{n}$元数,

n=0:实数

n=1:复数

n=2:哈密尔顿数(四元数)

n=3:Cayley代数

下面重点讨论四元数系$Q(R):=left { alpha |alpha=a+bi+cj+dk;a,b,c,d in R ight } $

熟悉群论的同学可能已经看出这和SU(2)群有千丝万缕的联系了(SU(2)可以看成是由四元数构成的)

引入计算规则:$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1;ij=-ji=k;jk=-kj=i;ki=-ik=j$

可这和物理有什么联系呢?

相信二轮时大家都学过大名鼎鼎的Pauli矩阵:

$sigma_{x}=egin{pmatrix} 0 &1\1&0 end{pmatrix} o i$

$sigma_{y}=egin{pmatrix} 0& -i \ i & 0 end{pmatrix} o j$

$sigma_{z}=egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 &-1end{pmatrix} o k$

$egin{pmatrix} 1 & 0\ 0& 1 end{pmatrix} o1$

这样,我们对一个刚体绕定轴$ mathbf{n}=(cos alpha,coseta ,cos gamma$转动$ heta$角可以描写为:$Q(mathbf{n}, heta)=cos rac{ heta}{2}+sin rac{ heta}{2}(cosalpha ·i+coseta·j +cosgamma ·k )$

讨论刚体转动合成时,只需将四元数相乘即可,非常方便。

再考虑$-Q(mathbf{n}, heta)=Q(mathbf{n}, heta+2pi}$前面说过,可以将SU(2)群看成“转动”,不妨记为$SU(2)=left { Q(mathbf{n}, heta)|mathbf{n}|=1,0 le heta le 4pi ight }$

对比量子力学的旋量$psi$恰好与之对应!

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南虞
4月前

mol啦~jj-dalao


但是LaTeX有乱码诶

1条评论
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道理子 回复 羲囍
4月前

第四行有点问题

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羲囍
4月前

...Screenshot_20240625_173852_com.huawei.browser.jpg

4条评论
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道理子
4月前

这样的,

Screenshot_20240625-174126.png

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羲囍 回复 道理子
4月前

以前也出现过,但羲囍不知道怎么解决,佬有没有方法?(佬看看下面的矩阵是不是也有问题?)

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道理子 回复 羲囍
4月前

矩阵那里会多几个 amp;

感觉平板可能是不能显示LaTeX里面的 

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舟律
4月前

感觉现在学什么都能看到跟量子比特相关的知识。。。。

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物理之城
4月前

注意:

以下用法,电脑版正常显示,平板会出现Expected 'EOF', got '&'

a<b        a>b        a  b (公式外两个空格表示公式内一个空格)

$a<b$        $a>b$        $a b$

要让平板也正常显示,应该用:

a\lt b        a\gt b        a~b        a\space b        a b (两个字母都两边加上美元符号,即它们分别属于两个公式,空格在公式外)

$a\lt b$        $a\gt b$        $a~b$        $a\space b$        $a$ $b$

其中,符号“~”容易触发敏感词,慎用

矩阵:平板会显示出错,尤其是出现在帖子正文,可能会导致平板打不开帖子,建议网页版截图发

 

你这还是放试题资料吧,放题目互答不太好

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Constellation
4月前
woc,大佬,mol!

1719016613685.jpg

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羲囍
4月前
如果大家有什么问题或是羲囍讲的不清楚的地方,欢迎在评论区向羲囍提问,羲囍会尽力解答和改善
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舟律
4月前
我靠,方便炸了,是只要用到泡利矩阵都能这样直接用四元数运算吗?(那当初定义是为什么要用矩阵啊,难算死了。。。)
4条评论
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舟律
4月前

还有多个四元数相乘是从左向右算还是从右向左算?

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舟律
4月前

为什么感觉有点不自洽啊?泡利矩阵各个矩阵与自己的内积不都是单位矩阵吗?为什么i,j,,k的平方都是-1,而单位矩阵是+1呢?

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羲囍 回复 舟律
4月前

都可以,按照法则来算

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羲囍 回复 舟律
4月前

打错了,应该是-i倍的泡利矩阵,谢谢佬指出错误

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「紫川帛玟」#ContinueF
4月前

群……群论?!

mol!jj-zhenjingjj-dalao

1条评论
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羲囍
4月前

群实际上是有定义乘法结构的集合,羲囍还打算再出一个帖子详细讲讲。