2021年第62届IMO试题来啦～

第1题. 设整数$n\geq 100$. 伊凡把$n, n + 1,\ldots , 2n$的每个数写在不同的卡片上. 然后他将这$n + 1$张卡片打乱顺序并分成两堆. 证明: 至少有一堆中包含两张卡片, 使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

第2题. 对任意实数$x_1,\ldots, x_n$, 证明下述不等式成立:

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$

第3题. 设$D$是锐角三角形$ABC$ ($AB > AC$) 内部一点, 使得$\angle DAB =\angle CAD$. 线段$AC$上的点$E$满足$\angle ADE =\angle BCD$, 线段$AB$上的点$F$满足$\angle FDA = \angle DBC$, 且直线$AC$上的点$X$满足$CX = BX$. 设$O_1$和$O_2$分别为三角形$ADC$和三角形$EXD$的外心. 证明: 直线$BC, EF$和$O_1O_2$共点.

第4题. 设圆$\Gamma$的圆心为$I$. 凸四边形$ABCD$满足: 线段$AB, BC, CD$和$DA$都与$\Gamma$相切. 设$\Omega$是三角形$AIC$的外接圆. $BA$往$A$方向的延长线交$\Omega$于点 $X$, $BC$往$C$方向的延长线交$\Omega$于点$Z$, $AD$往$D$方向的延长线交$\Omega$于点$Y$, $CD$往$D$方向的延长线交$\Omega$于点$T$. 证明:

$$AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.$$

第5题. 两只松鼠B和J为过冬收集了$2021$枚核桃. J将核桃依次编号为$1$到$2021$, 并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共$2021$个小坑. 第二天早上, J发现B已经在每个小坑里放入了一枚核桃, 但并未注意编号. 不开心的J决定用2021次操作来改变这些核桃的位置. 在第$k$次操作中, J把与第$k$号核桃相邻的两枚核桃交换位置. 证明: 存在某个$k$, 使得在第$k$次操作中, J交换了两枚编号为$a$和$b$的核桃, 且$a < k < b$.

第6题. 设整数$m\geq 2$. 设集合$A$由有限个整数 (不一定为正) 构成, 且$B_1, B_2, B_3,\ldots, B_m$是$A$的子集. 假设对任意$k = 1, 2, \ldots , m$, $B_k$中所有元素之和为$m^k$. 证明: $A$包含至少$m/2$个元素.

大家踊跃讨论呀（手动doge）

期待巨佬的解答～