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[知识点]因式分解(从入门到精通)

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环三亚甲基三硝胺—RDX 更新于2024-6-21 12:06:17
[因式分解]教程
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一、因式分解的定义:(要理解)
把一个多项式写成几个整数相乘的形式
$\color{red}{注意:因式分解要求}$
  1. 单项式写在最前面,相同的因式要写成指数形式;
  2. 在规定的范围内,分解到不能再分解为止。
二、基本方法:(必须掌握)
1、提取公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)
2、公式法:
a²+b²=(a+b)(a-b)
a²±2ab+b²=(a±b)²
a³±b³=(a±b)(a²±ab±b²)
a³±3a²b±3ab²±b³=(a±b)³
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
3、分组分解法:根据情况,适当地把多项式的项分成几组进行因式分解
例:ma+mb+na+nb=(ma+mb)+(na+nb)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b)

三、入门方法(必须掌握)
1、十字相乘法
十字相乘法(也称为交叉相乘法)是一种用于因式分解二次多项式的方法。它通常用于分解形如 ax^2 + bx + c 的二次多项式。
例如,我们有一个二次多项式 x²+ 5x + 6,我们可以使用十字相乘法来因式分解它。步骤如下:
1. 找到两个数的乘积等于常数项 c(这里是 6),而它们的和等于 x 系数 b(这里是 5)。
2. 找到这样的两个数是 2 和 3。
3. 将原方程改写成 x² + 2x + 3x + 6。
4. 使用分组法,将表达式分为两组:x(x + 2) + 3(x + 2)。
5. 提取公因式,得到 (x + 2)(x + 3)。因此,通过十字相乘法,我们得到了 x² + 5x + 6 的因式分解为 (x + 2)(x + 3)。这是十字相乘法的一个简单示例,
它是一种有效的方法,特别适用于分解二次多项式。
$\color{red}{提炼要点:}$
①对二次项系数进行拆解
②尝试对所有常数项拆解
③执行以上程序,直至交叉相乘的和为一次项系数
④写出结果

2、双十字相乘法
双十字相乘法是一种因式分解的方法,适用于分解四项多项式。这种方法实际上是十字相乘法的扩展,用于更复杂的多项式。
举例来说,考虑一个四项多项式:2x² - 7x - 3。我们可以使用双十字相乘法来因式分解它。
步骤如下:
1. 找出两个数的乘积等于常数项(-3),而它们的和等于x系数(-7)。这里,这两个数是-9和2;
2. 将原方程改写成2x² - 9x + 2x - 3;
3. 使用分组法,将表达式分为两组:x(2x - 9) + 1(2x - 3);
4. 提取公因式,得到(2x - 3)(x - 1)。
通过双十字相乘法,我们得到了2x² - 7x - 3的因式分解为(2x - 3)(x - 1)。
双十字相乘法是在十字相乘法的基础上进行的扩展,适用于更复杂的多项式,因此它提供了一种有效的因式分解方法。
$\color{red}{注:}$”复杂多项式“通常指二元二次六项式。当遇到二元二次六项式的时候,应优先考虑双十字相乘法。

三、进阶方法(需要学会)
1、余式定理:f(x)=(x-c)·g(x)+f(c)
其中,“(x-c)"是除式,“g(x)"是商式,“f(c)“是余式

2、因式定理:
  • 若f(a)=0,那么(x-a)一定是f(x)的一个因式;
  • 若(f-a)为f(x)的一个因式,则一定有f(a)=0;(其实是上个定理的逆推)
因式定理为我们进行因式分解提供了一条可行之路,我们只需要求出一个使f(x)=0的x值,就可以利用整式除法把要分解的式子降次。
$\color{red}{注意:}$一元三次必须用因式定理,一元三次以上优先用因式定理。

3、有理根的求法:

不断更新中………
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前
忘记打“因式分解”专题了,这个属于因式分解专题
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

减少水贴计划第一次施行!

为减少水分而奋斗!

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Black澄養&泽『小号』
1月前

wow你这整理很全面诶 很适合入门的同学

1条评论
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

嗯,谢谢!

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络合物#离阈
1月前

这个好这个好aww

史前时代学数学的回忆突然开始攻击络合物()

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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前
作为初中三大难点之一,因式分解不仅需要了解知识,还要大量练习
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宇寒咕咕呱
1月前
啊啊啊啊啊谢谢硝a,太需要这玩意了,虽然知识点都是通透的需要练习竞赛题目,但是这个的帮助也不少
1条评论
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

aww不用谢,我也是想减少水量嘛,有用就好hhh

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能被艾特的名
1月前

我也有一些笔记,需要的话踢我jj-huaji

1条评论
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

嗯嗯,可以发在评论区,互相补充嘛

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叶下梦归
1月前

有一个比较暴力的方法

待定系数法

还有一个不常用的

轮换式和对称式

3条评论
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

嗯,有补充的可以发在评论区,我会选择性采纳,谢谢各位!

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星烬雪鹭
1月前

轮换和对称严格来说算一种题型不能算一种因式分解方法哦

只是因为它们的特征有对应的相对特殊解法而已

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叶下梦归 回复 星烬雪鹭
1月前

行行行

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Hydrogen
1月前
硝硝又鼓捣出好东西了
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Starry
1月前

额……复数了解一下。

呃……艾氏判别法了解一下

2条评论
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环三亚甲基三硝胺—RDX
1月前

……

我后续会更新的

欢迎补充

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海林
15天前

看到那是真感觉学不动了

我连复数都不知道是什么zx-duxiaoyu1@2x

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......
1月前

一提二代带三分组都无效或做完后优先考虑十字,再是后面一堆方法啊

小蓝数因式分解这本真的很善良,有详批且难度不是一下拔很恐怖的那种,也并不会出现某种杀人诛心的现象jj-huaji

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环三亚甲基三硝胺—RDX
13天前
欢迎各位积极补充!!!