（共四题，预赛难度，第三题(2)和第四题还没有人做）

Level 3 做题人数统计：共3人参与做题，第一题（轮轴）1人，第二题（滑轮）1人，第三题（斜面）1人，第四题（相对加速度）0人

Level 3 做题建议：独立完成，将解题过程发在评论区（注意这里是Level 3，不要发错了），最好注明用时，最好再反馈一下难度

Level 3 题目评价：主要考查动力学问题的分析能力、计算能力、分类讨论；前三题以简单机械为情境，考查动力学模型；第四题考查相对运动与加速度的易错点

第一题轮轴（40分）

如图，外半径为R，内半径为r，质量忽略不计的轮轴被锁住不能转动，轮轴与绳子间的摩擦因数为$\mu$，物块1,2的质量分别为$m_1,m_2$，重力加速度为g

无标题.png

(1)（16分）如图(1)，若$m_1$>$m_2$，分别求物块1,2的加速度（向上为正，下同）

(2)（12分）如图(2)，若光滑圆盘3的质量为$m_3$，且物块1向下运动，物块2向上运动，分别求1,2,3的加速度

(3)（12分）如图(2)，若光滑圆盘3的质量为$m_3$，解除轮轴锁定，轮轴可以自由转动，且轮轴与绳子间没有相对滑动，分别求1,2,3的加速度

第二题滑轮（40分）

如图，整个装置处于绕过O点的竖直轴匀速转动的水平面内，角速度为ω。物块1,2的质量分别为$m_1,m_2$，分别被限制在轨道1,2上运动，两轨道相互垂直，且与O点的距离均为r。用长为3r的绳子通过滑轮连接物块1和2，绳子保持伸直，滑轮在两轨道交点，滑轮大小忽略不计，重力加速度为g

(1)（20分）若两轨道光滑，初始时物块1,2到滑轮的距离相等，静止释放并开始计时，求物块速度v、绳子张力T与时间t的关系（不需要求t的范围）

提示：微分方程$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=k^2(y-C)$的解为$y=Ae^{kx}+Be^{-kx}+C$，其中$A,B$为待定常数

(2)（20分）若轨道与物块间的摩擦因数为$\mu$，且轨道与物块1,2的横截面分别如图所示，物块1,2能保持静止，求物块1到滑轮的距离$x_1$的范围，以及绳子张力T与$x_1$的关系

第三题斜面（40分）

如图，质量为M、倾角为θ且足够长的斜面放在光滑水平面上，质量为m的滑块可视为质点，斜面与滑块间的摩擦因数为$\mu$，重力加速度为g

(1)（16分）如图(1)，静止释放，求斜面的加速度大小a、和滑块相对斜面的加速度大小a'

(2)（24分）如图(2)，在滑块与斜面之间增加一块长为$L=0.75~\mathrm{m}$、质量为$2m$的木板，木板厚度忽略不计（滑块滑下木板瞬间速度不变），滑块与斜面之间光滑（即$\mu=0$），滑块与木板间的摩擦因数为$\mu_1=0.5$，斜面与木板间的摩擦因数为$\mu_2=0.75$，倾角θ=37° ($\tan\theta=0.75$)，$M=3m$，$g=10~\mathrm{m/s^2}$，滑块初始位置在木板顶端，静止释放并开始计时，求斜面的速度大小v与时间t的关系