- 假设成立
- 易得x,y必为奇数，分别设为2n+1 2m+1
- 展开，移项，得m为奇数，设为2p+1则y=4p+3,带入方程
- 方程两边同时模6，得2p^3+1 和 2m^2+2m 模6同余
- 显然这是不可能的，证毙
- 1
给个代数数论的标准证明
令 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-6})$, 则 $O_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, 一番计算后 (或者查表) $O_K$ 的类群是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
现在 $x^2 + 6 = y^3$, 于是 $(x+\sqrt{-6})(x-\sqrt{-6}) = y^3$.
如果 $(x+\sqrt{-6}), (x-\sqrt{-6})$ 是不互素的理想, 那么公因子一定在 $\mathfrak{p}_2 = (2, \sqrt{-6})$ 或者 $\mathfrak{p}_3 = (3, \sqrt{-6})$ 中. 以 $\mathfrak{p}_2$ 为例, 由于右边有三次方, 所以 $(x+\sqrt{-6})$ 与 $(x-\sqrt{-6})$ 中的一者至少是 $\mathfrak{p}_2^2 = (2)$ 的倍数, 于是得到 $2 \mid (x \pm \sqrt{-6})$ 中的一者. 但我们说过 $O_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, 因此这不能成立. 同理 $\mathfrak{p}_3$. 因此 $(x+\sqrt{-6}), (x-\sqrt{-6})$ 互素.
因此 $(x+\sqrt{-6}) = \mathfrak{a}^3$ 对某个理想 $\mathfrak{a}$ 成立. 但 $O_K$ 的类群是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, 式子左边是主理想, 导致 $\mathfrak{a}$ 也只能是主理想, 设 $\mathfrak{a} = (u + v \sqrt{-6})$.
则 $x + \sqrt{-6} = t \cdot (u+ v \sqrt{-6})^3$, 其中 $t \in O_K^\times = \{\pm 1\}$. 那么不妨 $t = 1$. (否则取 $(u^\prime, v^\prime) = (-u,-v)$). 得到 $x + \sqrt{-6} = (u+ v \sqrt{-6})^3$, 展开比对 $\sqrt{-6}$ 的系数即见到矛盾.
题外话, 这道题纯用模法是做不出来的, 这是由 Hensel 引理告诉我们的. 楼上的计算有误.