物理

HCN每日一题三帖（简单基础）

1. 射程最大值

水平抛物线的射程由以下公式给出：

𝑅=𝑣2sin⁡(2𝛼)𝑔R=gv2sin(2α)​

其中，𝑣v 是初速度，𝛼α 是抛出角度，𝑔g 是重力加速度。

为了找到射程的最大值，我们可以对 𝛼α 求导，并令导数等于零：

𝑑𝑅𝑑𝛼=2𝑣2cos⁡(2𝛼)𝑔=0dαdR​=g2v2cos(2α)​=0

这意味着 cos⁡(2𝛼)=0cos(2α)=0，所以 𝛼=𝜋4α=4π​ 时，射程达到最大值。

因此，射程的最大值是：

𝑅max=𝑣2𝑔Rmax​=gv2​

2. 落在半径为 r 的区域内的碎片数量

碎片均匀向四面八方抛出，因此在一个单位面积上的碎片数量是均匀分布的。

那么，在半径为 𝑟r 的圆形区域内的碎片数量可以表示为半径 𝑟r 内的面积与单位面积上的碎片数量的乘积：

碎片数量=𝜋𝑟2×单位面积上的碎片数量碎片数量=πr2×单位面积上的碎片数量

单位面积上的碎片数量可以表示为总碎片数量除以总面积：

单位面积上的碎片数量=总碎片数量总面积单位面积上的碎片数量=总面积总碎片数量​

总碎片数量等于碎片的速度乘以碎片的发射时间。

总面积等于圆形区域的面积 𝜋𝑟2πr2。

因此，碎片数量为：

碎片数量=𝑣⋅𝑇𝜋𝑟2×𝜋𝑟2=𝑣⋅𝑇碎片数量=πr2v⋅T​×πr2=v⋅T

3. 球的运动总时间与路程

当球与地面碰撞并弹起时，速度将减小到初速度的 𝜇μ​ 倍，其中 𝜇μ 是球与地面的恢复系数。因此，球的上升时间为从抛出到达最高点的时间，球的下降时间为从最高点到球再次碰撞地面的时间。

上升时间可以通过球的初速度和重力加速度来计算。球从抛出到达最高点的高度为：

ℎmax=𝑣2sin⁡2(𝛼)2𝑔hmax​=2gv2sin2(α)​

因此，上升时间为：

𝑡上升=𝑣sin⁡(𝛼)𝑔t上升​=gvsin(α)​

下降时间可以通过球的高度 ℎmaxhmax​ 和恢复系数 𝜇μ 来计算。球再次碰撞地面时，速度为 𝑣𝜇vμ​，则下降时间为：

𝑡下降=ℎmax𝑣𝜇t下降​=vμ​hmax​​

因此，总时间为上升时间和下降时间之和：

𝑡总=𝑡上升+𝑡下降t总​=t上升​+t下降​

球的总路程可以通过球的初速度和总时间来计算：

总路程=𝑣⋅𝑡总总路程=v⋅t总​