物理 HCN每日一题2帖
一，刚体
（1）请推导匀质杆的绕垂直杆面穿过质心轴的转动惯量表达式，此问积分做不给分 5分
（2）一根匀质杆直立在动摩擦因数为μ的水平面上（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），受到微绕，问与竖直方向为什么时，杆脱离地面 5分
（3）经过前两问的送分，相信你对刚体有了很好的理解，下面研究一段有质量的软绳，长为l，质量为m，其一端悬挂在天花板上。初始使之与水平夹π/4并伸直，此后释放，如图所示，一个固定的实心模型在铅垂线左侧，其函数为f=(1/2)x+1/x ，其最低点与悬挂点的水平距离为λl，求其速度为零时，其与固定模型切点与悬挂点处铅垂线的夹角 30分
二，数学！
著名物理学者江四喜曾经说过：“现在的物理竞赛就是微积分大赛”（@三等分的伊文斯他说过这话没有），这就说明数学配凑是物理竞赛的一项重要能力，上一大题第一问就是这个能力的简易实践（@满命心海配胡桃，怎么样，这个理由充不充分 ），显然在难度日益增加的现在，这点根本不够用的，本题旨在练习此项能力：
（1）我们把圆的平面面积叫做二维体积，把球的我们所认知的体积叫三维体积，那么类似的，我们可以定义四维体积，那么，请求出四维球的四维体积关于r的表达式，并推广至n维体积，积分式若无法确定，保留至最简积分式即可 15分
（2）试求出在相对论体系下，一个静质量为m，初速度是v，与水平方向成α，其始终受到一个向下的恒力f，不计空气阻力，求出其轨迹方程 15分
（3）有一片不受重力影响的，密度为ρ的水雾。初始有一个受重力影响的极其微小的水滴以初速度v抛出，与水平方向成β，试求此后轨迹方程 30分
三，疯狂的氯化铵
化学反应本质上就是分子之间的碰撞，HCl和NH₃的混合气体就会发生这样的碰撞，假设同种分子之间碰撞不会发生反应，异种分子之间碰撞有q(q＜1)的概率发生反应，假设该反应不放热，氯化铵体积足够小，下面考虑一个有自由活塞的绝热长方体容器，初始各有1mol上述分子，从开始反应计时，求容器体积随时间t的变化函数（尽量求解）。已知活塞面积为s，大气压为p，初始高度为h，初始温度为Τ，活塞重力为mg，该过程为准静态过程，气体是理想气体，分别讨论两种情况：（i）气体均匀分布（ii）气体对重力势能满足bolzman分布
四，三等分伊文斯@三等分的伊文斯（水一题）
我们知道，伊文斯被切成了三段。但是，对付伊文斯，应该让他血肉撕裂。我们不妨把伊文斯简化为一种很容易被切开的圆柱形刚体，其最大扭矩正比于其横截面面积（比例系数为λ），假设被丝线接触时，丝线对前进提供的阻力正比于线在圆柱中的长度（比例系数为α，可近似看成一种不随压力变化的摩擦力），设圆柱半径为r，质量为m，最低的线到最高线之间的距离和圆柱高度的一半相同，均为h，初速度为v（注意，是三等分）
（1）如果伊文斯一瞬间被血肉撕裂，求上述物理量满足的条件
（2）若伊文斯在过程中撕裂，试问在何处最容易被撕裂
（3）若伊文斯不会撕裂而是被切开，求速度最大值
五，有趣的平衡
（1）水：如图1所示，已知半径为r，质量为m，求墙对链的拉力 2
（2）如图2所示，粒子带正的电荷，每个固定电荷为正且相等，此时让粒子有一个微绕，试确定平衡稳定性 10
（3）如图所示，绳的线密度为λ，长为l，所用物理量在图3中标出来，求其悬链线方程。如果右端松掉，求细绳上任意一点的加速度。28
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要是加入一个剪切模量将是绝杀。
一，刚体
（1）匀质杆的转动惯量表达式
要推导匀质杆绕垂直轴的转动惯量表达式，可以使用平行轴定理。对于一个匀质杆，绕通过质心的轴的转动惯量为：
𝐼𝑐=112𝑚𝐿2Ic=121mL2
然后，使用平行轴定理，将质心轴与通过一端的轴平行的转动惯量转换为通过杆的一端轴的转动惯量。对于一根长度为 𝐿L 的杆，其转动惯量为：
𝐼=𝐼𝑐+𝑚𝑑2I=Ic+md2
其中 𝑑d 是质心到旋转轴的距离。对于垂直轴，𝑑=𝐿2d=2L。因此：
𝐼=112𝑚𝐿2+𝑚(𝐿2)2=112𝑚𝐿2+14𝑚𝐿2=13𝑚𝐿2I=121mL2+m(2L)2=121mL2+41mL2=31mL2
所以，匀质杆绕通过质心轴的转动惯量为 13𝑚𝐿231mL2。
（2）杆脱离地面条件
当杆脱离地面时，静摩擦力达到最大值，即滑动摩擦力等于最大静摩擦力。杆脱离地面的条件是施加的微扰力大于等于最大静摩擦力。设杆的质量为 𝑀M，重力为 𝑀𝑔Mg，摩擦力 𝑓𝑓ff，施加的微扰力为 𝐹F。
根据静摩擦力的性质，最大静摩擦力为 𝑓max=𝜇𝑁fmax=μN，其中 𝑁N 是法向压力，等于杆的重力，即 𝑀𝑔Mg。
所以，当施加的微扰力大于等于最大静摩擦力时，杆脱离地面。即：
𝐹≥𝜇𝑀𝑔F≥μMg
（3）软绳的问题
这个问题需要更详细的图示和条件说明才能正确回答，可能需要绘制图形并标记各个参数。根据描述，需要分析软绳的运动，结合实心模型的运动和相应的条件，可能需要运用动力学和动能守恒定律来解决问题。
现在我们进入第二部分的问题。
二，数学！
（1）n维球的体积表达式
对于n维空间中的球，其体积 𝑉V 由下式给出：
𝑉𝑛=𝜋𝑛/2Γ(𝑛2+1)𝑟𝑛Vn=Γ(2n+1)πn/2rn
其中 ΓΓ 是伽玛函数。对于二维空间，𝑛=2n=2，我们可以得到圆的面积。对于三维空间，𝑛=3n=3，我们可以得到球的体积。这个表达式可以推广到任意维度的球面积。
（2）相对论体系下的轨迹方程
在相对论体系下，质点的动能为：
𝐾𝐸=(𝛾−1)𝑚𝑐2KE=(γ−1)mc2
其中 𝛾=11−𝑣2𝑐2γ=1−c2v21 是洛伦兹因子。对于一个始终受到向下的恒力 𝐹F，质点的运动方程可以写为：
𝐹=𝑑(𝛾𝑚𝑣)𝑑𝑡F=dtd(γmv)
通过求解这个微分方程，可以得到质点的速度关于时间的表达式，然后可以进一步积分得到轨迹方程。
（3）水雾的轨迹方程
这个问题涉及到空气阻力的考虑，需要解决一个微分方程。可以使用牛顿第二定律来建立质点的运动方程，并考虑到空气阻力与速度的关系。然后求解这个微分方程，得到质点的位置关于时间的表达式，即为轨迹方程。
接下来，我们解决第三部分的问题。
三，疯狂的氯化铵
容器体积随时间的变化函数
在该问题中，我们需要考虑氯化铵分子的反应以及活塞的运动。我们需要建立氯化铵分子数与时间的关系，然后根据气体状态方程以及容器的几何形状，推导出容器体积随时间的变化函数。这个问题可能需要使用一些物理化学知识，如理想气体定律和化学反应动力学。
现在我们转向第四部分的问题。
四，三等分伊文斯
（1）条件
根据问题描述，我们需要考虑伊文斯受到的力和扭矩的平衡条件。通过分析力和扭矩的平衡，我们可以确定伊文斯被撕裂的条件。
（2）最容易被撕裂的地方
在伊文斯被撕裂的地方，丝线对伊文斯的阻力应该最小。我们可以通过分析丝线对伊文斯的阻力与丝线长度的关系，找到最容易被撕裂的地方。
（3）速度最大值
速度最大值可能发生在伊文斯受到的力最大的时候。我们可以求解伊文斯受到的力与速度之间的关系，然后找到速度最大值对应的情况。
最后，我们回答第五部分的问题。
五，有趣的平衡
（1）水的问题
根据题目描述，我们需要考虑墙对链的拉力，这涉及到重力、浮力以及链的张力。我们可以使用平衡条件来解决这个问题。
（2）粒子的平衡稳定性
在这个问题中，我们需要考虑粒子的受力情况以及平衡时的稳定性。我们可以通过分析受力情况，判断平衡是否稳定。
（3）绳的悬链线方程
对于绳的悬链线方程，我们可以使用受力平衡条件来建立微分方程。然后求解这个微分方程，得到绳的形状。如果右端松掉，我们需要重新分析受力情况，然后求解加速度。
佬，厉害
太感动了，终于有人试着做了
但是有没有一种可能，这几道题难的部分在于把这个思路怎么用方程表示出来，或者用一些奇异技巧
还有，第一问第三效问可以看一下，条件是给足的，第三大题，是把碰撞处理成了弹性钢球模型，不需要化学的知识，只需要气体动理论就可以解决
有一些小问有大量的没有说到的难点
最后，感谢老，可以的话可以把方程试着列一列，把数算一算（有一些确实是复赛难度的一些题改了改，或者自己出，还是挺有趣的）
不能剧透了，佬可以试着
佬原来你没看出这是人机吗
在另一个帖已经骂过了
@质心小姐姐这条评论和我的另一个题目贴的这种ai式水回答帮忙删一下，谢谢
这样会再用空间，有些说的完全是错的，防止误导
已经有很多小朋友投诉你这个情况啦，不要再直接复制粘贴内容了哈，如果还有这样情况发生姐姐只能严肃处理了
就是这上面的@physics，建议取消引物者
而且，在每日一题用AI水回复，影响其他人独${}$立思考，建议删除回复