综合

自然数集是自然数吗？

在一片虚无中，一切数学概念都还没有定义，就连自然数都还没定义。在自然数之前，最先出现的概念是集合。

            $\blue{集合 (\text{set})}是一些确定的元素构成的整体。$

我们一般用列举法、描述法等方法来确定一个集合。列举法就是把集合内元素列出来，用逗号 (,) 隔开，两边用大括号括起来，顺序无所谓。描述法则是划一道竖线，竖线左边写这个集合内的元素是什么，竖线右边写集合内元素满足的性质，两边用大括号括起来。

为了方便，少写些字，定义一些符号。

      $=$：equals, 等于。

      $\lor$：or, 或。

      $\land$：and, 且。

      $\forall$：for all, 对于所有的。（很多地方只认为$\forall$是“所有的”，因为这个符号就是把all的首字母A倒过来写，然后每次都在前面写个中文「对」。难道不觉得既麻烦又难看吗？反正我们这里就把for的意思也涵盖进来。）

      $\exist$：exist, 存在。

      $\in$：$a\in b$表示a是集合b中的一个元素。

      $\cup$：并集，$a\cup b=\{x\mid x\in a\lor x\in b\}$

      $\cap$：交集，$a\cap b=\{x\mid x\in a\land x\in b\}$

暂时只用得到这么多了吧。

元素这个概念太底层了，实在没法定义了，反正就是某个东西。什么东西都行。然而，现在是一片虚无，什么东西都没有啊，没有任何东西可以装进集合里。于是，最初的集合就诞生了。

            $\blue{空集 (\varnothing)}是不含任何元素的集合。$

按照我们先前所述的列举法，空集应该写为$\{\}$, 不过不知道是谁还是给了她一个专门的符号。现在最初的集合诞生了，那我们就有元素可以塞进集合了，马上得到另一个集合$\{\varnothing\}$. 再把两个集合都塞进新集合$\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$. 这样的过程可以一直持续下去，所以我们可以定义下面的集合。

             $\blue{自然数集 (\N)}是满足以下性质的集合：$

                   1. $\varnothing\in\N$. 

                   2. $\forall x\in\N, x\cup\{x\}\in\N$. 

用列举法写出来就是$\N=\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \cdots\}$. 但是写一长串空集在那互相塞太麻烦，所以我们定义一些符号来简写自然数集中的元素。自然数集中的元素被称为自然数。

      $0=\varnothing$. 

      $1=\{\varnothing\}$. 

      $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$. 

......

至此，我们终于完成了自然数的定义，也明白了0, 1, 2, ... 这些数的本质都是集合。接下来就是定义四则运算，将自然数集逐渐扩展到整数集、有理数集、实数集、复数集……整个数学由此而生了。

采用简化写法后，我们再看先前写下的式子。

      $0=\{\}$. 

      $1=\{0\}$.

      $2=\{0,1\}$.

......也就是说，每个自然数都是所有比她小的自然数组成的集合。现在，我们看向自然数集。

$\N=\{0,1,2,\cdots\}$.

所有自然数组成的集合……这不就是自然数的定义吗？！这就是我的问题：自然数集是自然数吗？或者说……

$$\Huge{\N\in\N?}$$