物理

高斯积分的证明（老师给的过程看不懂）

这个是我偏微分写习惯了😅

谢谢大佬

那我们用这个结论推导K维理想气体麦克斯韦速率分布律

$g_k(v)=C_ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}$

先从1维开始

$\int_{-\infty}^{+\infty}g_1(v)\mathrm{d}v=1$

$\int_{-\infty}^{+\infty}C_1e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v=1$

$\int_{-\infty}^{+\infty}C_1\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(\sqrt{\frac{mv^2}{2k_BT}})=1$

$C_1\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}\sqrt{\pi}=1$

$C_1=\sqrt{\frac{m}{2k_B\pi T}}$

$g_1(v)=\sqrt{\frac{m}{2k_B\pi T}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}$

2维

$\iint_{-\infty}^{+\infty}g_2(v)\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y=1$

$\iint_{-\infty}^{+\infty}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y=1$

（换坐标系）

$\int_0^{+\infty}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\cdot2\pi v\mathrm{d}v=1$

$\int_0^{+\infty}\pi C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(v^2)=1$

$\int_0^{+\infty}\frac{2k_B\pi T}{m}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(\frac{mv^2}{2k_BT})=1$

$\frac{2k_B\pi T}{m}C_2=1$

$C_2=\frac{m}{2k_B\pi T}$

$g_2(v)=\frac{m}{2k_B\pi T}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}$

猜想：$C_k=(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}$

用数学归纳法证明：

k=1,2时成立

k≥3时

首先，设半径为1的k维球的体积为$V_k$，表面积为$S_k$

在第(k-1)维、k维建立极坐标系

$V_k=\int_0^1V_{k-2}(1-r^2)^{\frac{k-2}{2}}(2\pi)r\mathrm{d}r$

$V_k=\frac{2\pi}{k}V_{k-2}$

$S_k=kV_k$

$S_k=\frac{2\pi}{k-2}S_{k-2}$

下面开始证明

假设k维成立

$\iiint_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_k=\int_0^{+\infty}S_kr^{k-1}\mathrm{d}r$

$\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_kv^{k-1}\mathrm{d}v=1$

$\mathrm{d}(v^ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}})=(kv^{k-1}-\frac{m}{k_BT}v^{k+1})e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v$

$\int_0^{+\infty}\mathrm{d}(v^ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}})=0$

$\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_k\dfrac{\frac{m}{k_BT}v^{k+1}}{k}\mathrm{d}v=1$

$S_{k+2}=\frac{2\pi}{k}S_k$

$\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{\frac{k+2}{2}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_{k+2}v^{k+1}\mathrm{d}v=1$

即(k+2)维成立，得证

$g_k(v)=(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}$

∬rdrdθ⋅e−r2

换成这个玩意总感觉有点奇怪啊，不是很理所当然的吧……

然后在宸姐的这个帖里也提过这个问题https://forum.eduzhixin.com/discuss-detail/31158?subjectType=discuss（雅可比我试过了）

同学数分的笔记里有拿dx=d（r*cosθ）做的

但是直接dr*dr=dθ*dθ=0，让我很懵（这是第二个问题）

留数可以做吗？（这是第三个问题）@满命心海配胡桃 @活性自由基 @羲囍