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有没有一种可能,J是Jacobian矩阵,可以用它的行列式列微分方程
还有一个小问题,Jacobian矩阵用的是偏导∂,不是微分
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∬rdrdθ⋅e−r2=∫0+∞rdr⋅2π⋅e−r2=4π∫0+∞d(r2)⋅e−r2=4π(−e−r2)∣0+∞=4π

那我们用这个结论推导K维理想气体麦克斯韦速率分布律
gk(v)=Cke−2kBTmv2
先从1维开始
∫−∞+∞g1(v)dv=1
∫−∞+∞C1e−2kBTmv2dv=1
∫−∞+∞C1m2kBTe−2kBTmv2d(2kBTmv2)=1
C1m2kBTπ=1
C1=2kBπTm
g1(v)=2kBπTme−2kBTmv2

下面开始证明
假设k维成立
∭−∞+∞dx1dx2⋯dxk=∫0+∞Skrk−1dr
∫0+∞(2kBπTm)k/2e−2kBTmv2Skvk−1dv=1
d(vke−2kBTmv2)=(kvk−1−kBTmvk+1)e−2kBTmv2dv
∫0+∞d(vke−2kBTmv2)=0
∫0+∞(2kBπTm)k/2e−2kBTmv2SkkkBTmvk+1dv=1
Sk+2=k2πSk
∫0+∞(2kBπTm)2k+2e−2kBTmv2Sk+2vk+1dv=1
即(k+2)维成立,得证
gk(v)=(2kBπTm)k/2e−2kBTmv2

∬rdrdθ⋅e−r2
换成这个玩意总感觉有点奇怪啊,不是很理所当然的吧……
然后在宸姐的这个帖里也提过这个问题https://forum.eduzhixin.com/discuss-detail/31158?subjectType=discuss(雅可比我试过了)
同学数分的笔记里有拿dx=d(r*cosθ)做的
但是直接dr*dr=dθ*dθ=0,让我很懵(这是第二个问题)
留数可以做吗?(这是第三个问题)@满命心海配胡桃 @活性自由基 @羲囍
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