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高斯积分的证明(老师给的过程看不懂)

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宇宙大爆炸 更新于2024-2-14 13:16:16

老师给的过程,还没搞懂老师就走了zx-caizixing2@2x

最后两步看不懂

IMG_20240214_211420_263.jpg

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共2条回复
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活性自由基
1年前

有没有一种可能,JJacobian矩阵J是Jacobian矩阵,可以用它的行列式列微分方程

还有一个小问题,Jacobian矩阵Jacobian矩阵用的是偏导偏导∂,不是微分

1条评论
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宇宙大爆炸
1年前

这个是我偏微分写习惯了😅

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物理之城
1年前

rdrdθer2=0+rdrπ2er2=π40+d(r2)er2=π4(er2)0+=π4\iint r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\cdot e^{-r^2}=\int_0^{+\infty}r\mathrm{d}r\cdot\frac{\pi}{2}\cdot e^{-r^2}=\frac{\pi}{4}\int_0^{+\infty}\mathrm{d}(r^2)\cdot e^{-r^2}=\frac{\pi}{4}(-e^{-r^2})|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}

6条评论
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宇宙大爆炸
1年前

谢谢大佬jj-dalao

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物理之城 回复 宇宙大爆炸
1年前

那我们用这个结论推导K维理想气体麦克斯韦速率分布律

gk(v)=Ckemv22kBTg_k(v)=C_ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}

先从1维开始

+g1(v)dv=1\int_{-\infty}^{+\infty}g_1(v)\mathrm{d}v=1

+C1emv22kBTdv=1\int_{-\infty}^{+\infty}C_1e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v=1

+C12kBTmemv22kBTd(mv22kBT)=1\int_{-\infty}^{+\infty}C_1\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(\sqrt{\frac{mv^2}{2k_BT}})=1

C12kBTmπ=1C_1\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}\sqrt{\pi}=1

C1=m2kBπTC_1=\sqrt{\frac{m}{2k_B\pi T}}

g1(v)=m2kBπTemv22kBTg_1(v)=\sqrt{\frac{m}{2k_B\pi T}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}

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物理之城 回复 宇宙大爆炸
1年前

2维

+g2(v)dvxdvy=1\iint_{-\infty}^{+\infty}g_2(v)\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y=1

+C2emv22kBTdvxdvy=1\iint_{-\infty}^{+\infty}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y=1

(换坐标系)

0+C2emv22kBT2πvdv=1\int_0^{+\infty}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\cdot2\pi v\mathrm{d}v=1

0+πC2emv22kBTd(v2)=1\int_0^{+\infty}\pi C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(v^2)=1

0+2kBπTmC2emv22kBTd(mv22kBT)=1\int_0^{+\infty}\frac{2k_B\pi T}{m}C_2e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}(\frac{mv^2}{2k_BT})=1

2kBπTmC2=1\frac{2k_B\pi T}{m}C_2=1

C2=m2kBπTC_2=\frac{m}{2k_B\pi T}

g2(v)=m2kBπTemv22kBTg_2(v)=\frac{m}{2k_B\pi T}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}

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物理之城 回复 宇宙大爆炸
1年前

猜想:Ck=(m2kBπT)k/2C_k=(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}

用数学归纳法证明:

k=1,2时成立

k≥3时

首先,设半径为1的k维球的体积为VkV_k,表面积为SkS_k

在第(k-1)维、k维建立极坐标系

Vk=01Vk2(1r2)k22(2π)rdrV_k=\int_0^1V_{k-2}(1-r^2)^{\frac{k-2}{2}}(2\pi)r\mathrm{d}r

Vk=2πkVk2V_k=\frac{2\pi}{k}V_{k-2}

Sk=kVkS_k=kV_k

Sk=2πk2Sk2S_k=\frac{2\pi}{k-2}S_{k-2}

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物理之城 回复 宇宙大爆炸
1年前

下面开始证明

假设k维成立

+dx1dx2dxk=0+Skrk1dr\iiint_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_k=\int_0^{+\infty}S_kr^{k-1}\mathrm{d}r

0+(m2kBπT)k/2emv22kBTSkvk1dv=1\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_kv^{k-1}\mathrm{d}v=1

d(vkemv22kBT)=(kvk1mkBTvk+1)emv22kBTdv\mathrm{d}(v^ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}})=(kv^{k-1}-\frac{m}{k_BT}v^{k+1})e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}\mathrm{d}v

0+d(vkemv22kBT)=0\int_0^{+\infty}\mathrm{d}(v^ke^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}})=0

0+(m2kBπT)k/2emv22kBTSkmkBTvk+1kdv=1\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_k\dfrac{\frac{m}{k_BT}v^{k+1}}{k}\mathrm{d}v=1

Sk+2=2πkSkS_{k+2}=\frac{2\pi}{k}S_k

0+(m2kBπT)k+22emv22kBTSk+2vk+1dv=1\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2k_B\pi T})^{\frac{k+2}{2}}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}S_{k+2}v^{k+1}\mathrm{d}v=1

即(k+2)维成立,得证

gk(v)=(m2kBπT)k/2emv22kBTg_k(v)=(\frac{m}{2k_B\pi T})^{k/2}e^{\small-\frac{mv^2}{2k_BT}}

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12月前

∬rdrdθ⋅e−r2

换成这个玩意总感觉有点奇怪啊,不是很理所当然的吧……

然后在宸姐的这个帖里也提过这个问题https://forum.eduzhixin.com/discuss-detail/31158?subjectType=discuss(雅可比我试过了)


同学数分的笔记里有拿dx=d(r*cosθ)做的

但是直接dr*dr=dθ*dθ=0,让我很懵(这是第二个问题

留数可以做吗?(这是第三个问题@满命心海配胡桃 @活性自由基 @羲囍 

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