物理

喵选1 快速交变

先上题目

这道题目其实代表了一类相当广泛的问题：快速交变场。我们给出标准做法

我们假设1D运动的粒子同时受到不变场$V(q)$与高频的变化力$f(q,t)=h(q)cos(\omega t+\phi)$

朴素的列出牛顿第二定律：

$ m \ddot q=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}+f$

我们当然可以设想 这个方程的解会有这样的形式

$q(t)=X(t)+\xi (t)$

其中$\xi(t)$对应了高频力带来的微振动

考虑到$\xi(t)$在一个周期内的平均值为零 可见$X(t)$相当于这个粒子在一个周期内位置的平均值

$X(t)=\overline{q}(t)$

即 其描述的是由平均了快速振动之后而得到的粒子“平稳”的运动。

我们分别把$-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}$和$f$在X处展开，并精确至一阶小量。

$-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}$=$-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}X}-\frac{\mathrm{d}^{2}V}{\mathrm{d}X^{2}}\xi$

$f(q)=f(X,t)+\frac{\partial f}{\partial X}\xi$

带入牛顿第二定律

$m\ddot X+m\ddot{\xi}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}X}-\frac{\mathrm{d}^{2}V}{\mathrm{d}X^{2}}\xi+f(X,t)+\frac{\partial f}{\partial X}\xi$

观察等号右边 我们可以发现 第一，二，四项都和力频率$\omega$无关

等号左边，只有$\ddot\xi$与$\omega$有关

那么$m\ddot\xi=f(X,t)=h(X,t)cos(\omega t+\phi)$

我们假设$\xi=acos(\omega t+\theta)$其中$\theta $是一个未定常数，带入上式，得

$\xi(t)=-\frac{f(X,t)}{m\omega^{2}}$

我们对着泰勒展开过的牛顿第二定律在一个周期内时间平均平带入上式

$m\ddot X+m\ddot{\xi}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}X}-\frac{\mathrm{d}^{2}V}{\mathrm{d}X^{2}}\xi+f(X,t)+\frac{\partial f}{\partial X}\xi$

注意到$\xi $的平均当然是0,等号右边第二项$-\frac{\mathrm{d}^{2}V}{\mathrm{d}X^{2}}$是一个时间无关的量，那么整体平均后就是零，但是后面两项都是t的函数，所以不可以简单认为为零

$m\ddot X=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}X}-\frac{1}{m\omega^{2}}\overline{f\frac{\partial{f}}{\partial{X}}}=-\frac{\mathrm{dV_{eff}}}{\mathrm{dX}}$

好我们现在回到这道题目势能中没有耦合项，那么就是三个1D运动,我在这里只算x方向的

$V=q\frac{U_{0}}{2d^{2}}x^{2}$

$f=-qx\frac{V_{0}}{d^{2}}cos(\omega t)$

$f\frac{\partial{f}}{\partial{X}}=-Xq^{2}V_{0}{^2}{cos(\omega t)}^{2}/d^{4}$

$\overline{f\frac{\partial{f}}{\partial{X}}}=-Xq^{2}V_{0}{^2}/2d^{4}$

可见 所需求的运动方程就是：

$m\ddot X+(q\frac{U_{0}}{d^{2}}+q^{2}V_{0}{^2}/2m\omega^{2}d^{4})X=0$

这当然就是一个简谐振动方程，其频率$\Omega^{2}=q\frac{U_{0}}{d^{2}}+q^{2}V_{0}{^2}/2m\omega^{2}d^{4}$