物理

张量分析入门-L₃:向量及其衍生概念

$\Large{\blue{公告：即日起，张量分析入门系列将移至试题资料分区。}}$

        说起向量，大多数同学应该都不陌生。

        只要是任何一个竞赛生，向量都是必备的知识。

        对于大部分竞赛生来说，向量也非常简单。

        不就是一个有向线段吗？那可不一定。

        今天我们就来分析我们的第一个张量示例：向量。

$\huge{L_3：向量及其衍生概念}$

$\Large{L_{3.1}：向量的定义}$

         在我们的第一节课中，我们已经讨论了张量的定义。当时我们从数组定义，坐标定义和抽象定义三个方面描述了张量。研究向量的时候我们也一样，从以上三个方面分析向量。

         首先我们给出向量的数组定义。

                $\red{向量(Vector)}是$一个一阶张量，定义为一$个1×n的$矩阵。

         这个定义非常的简单。但是看过第一课的同学都知道，这个定义绝对不可能是向量的最终定义。那我们接下来结束向量的数组定义，进入向量的坐标定义。

                $\red{向量(Vector)}是$一个有方向且有大小的量，或表示为一个有向线段。

        这个定义跟我们平常听到向量的定义是一样的。这个也非常简单，跳过它。

        按照惯例，接下来我们应该给出向量的抽象定义了。

                $\red{向量(Vector)}是$向量空间中的一个元素。

        听不懂了。向量空间是什么？没关系，我们接下来解释。

$\Large{L_{3.2}：向量空间的概念及其性质}$

        我们在向量空间上不会花费太多的时间，但是向量空间却又很重要。我们后面提到的对偶空间，张量积空间等等都依靠于向量空间之上。那么接下来我们直接给出向量空间的定义。

        若数$域\mathbb{F}存在一个非空集合V$，在$V上定$义加法，$记作α+β(α,β∈V)$。若$α+β=γ(α,β,γ∈V)，则称γ是α和β的和$；在$V上$定义数乘，$∀k∈\mathbb{F}和∀α∈V的数乘记作kα=η(η∈V)，η称为k和α的数量乘积$。若$在V$上定义的加法和数乘满足以下结论：

                $(1)α+β=β+α$

                $(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)$

                $(3)存在中性元0∈V使得α+0=α，0称为零向量$

                $(4)对于∀α∈V，存在逆元β∈V使得α+β=0$

                $(5)k(lα)=(kl)α$

                $(6)(k+l)α=kα+lα$

                $(7)k(α+β)=kα+kβ$

        则$称V是\mathbb{F}上的一个\red{向量空间(Vector\ Space)}$，称向量空间中的元素为向量。

        从定义中可以看出来，向量空间本质上是一个集合。其实向量空间中的元素并不一定是有向线段，也可以不是一个一阶张量。但是在这个系列中，我们默认向量空间中的元素全部都是一阶张量，表示$为\vec{v}∈V$。

        在向量空间的部分完全结束之前，插一句题外话。如果你是一个学过群论的同学，那么当你看到中性元，逆元这些名词的时候，你应该第一时间想到什么。如果你想到了，很好，这证明了你对数字非常敏感。

        很显然，向量空间和群之间有某种特别的关系。在这里我们讲明：如果将向量空间搭配上一个加法，那么它构成一个加法群，表示$为〈V,+〉$，同时由向量空间构成的加法群也是一$个Abel$群。这个群的中性元就是零向量，逆元就在向量前增加一个负号。

        至此，第三课的大部分内容都讲完了。

$\Large{L_{3.2}：逆变量和协变量}$

        众所周知，一$个n$维向量可以表示为下面的形式（这个推导实在是太简单了我就不推了）：

                $$\vec{v}=\sum_{i=1}^n \vec{e_i}v^i$$

                $$\vec{v}=\sum_{j=1}^n \widetilde{\vec{e_j}}\widetilde{v^j}$$

        但是你突然发现，为什$么v$的上面有一个指标？这里要注意，这个指标并不是指数，它代表的还是$向量\vec{v}的第i(或j)$个分量。至于我为什么要把指标写在上面，你一会儿就明白了。首先我们在上面这个式子中应用基的后向变换公式，可以得到：

                 $$\vec{v}=\sum_i v^i(\sum_j B_{ji}\widetilde{\vec{e_j}})$$

         然后我们调换求和顺序:

                 $$\vec{v}=\sum_j(\sum_i B_{ji}v^i)\widetilde{\vec{e_j}}$$

         又因为在上面，我们所得到的第二个向量的表达式：

                 $$\vec{v}=\sum_{j=1}^n \widetilde{\vec{e_i}}\widetilde{v^j}$$

         然后很轻松的，我们就可以得到以下这个等式：

                 $$\widetilde{v^j}=\sum_{i=1}^n B_{ji}v^i$$

         这个等式是典型的前向变换。但是我们惊讶的发现，这个前向变换竟然使用了后向变换因子！

         而且，如果你去推导向量分量的后向变换，会发现向量分量的后向变换使用前向变换因子。这个活交给同学们做。同学们可以把自己推导的过程发在评论区里。

        所以这是为什么呢？

        好吧，这其实就是我把指标写在上面的原因。类似于向量分量，如果某一个组件在基变换的时候，使用和基相反的变换矩阵进行变换，我们就把它叫做逆变量。

        那么接下来，我们给出逆变量的标准化定义：

                如果某一个组件在基变换时，使用基变换的过渡矩阵的逆进行同步变换，那么称这个组件$为\red{逆变量(Contravariant)}$。

       当我们书写逆变量的时候，指标一般加在字母的上方。也许你会担心你会把这个和指数混淆。没有关系，在张量分析中我们一般不常用指数。

       那既然有逆变量，那么一定有一个性质和它相反的东西。没错，这个东西叫做协变量：

                如果一个组件在基变换时，使用和基变换相一致的过渡矩阵进行同步变换，那么称这个组件$为\red{协变量(Covariant)}$。

       这就是逆变量和协变量的概念。也许你想问，那我们什么时候见到协变量呢？首先，基本身就是一个协变量。其次，不用着急，我们下一课还会见到。

       至此，第三课的内容全部结束。本课很简短。同时也比较简单。但是本课非常重要。建议同学们把这一课的概念吃透，以便于下面的学习。

       第四课，我们将了解一个全新的张量，即协向量。同时，我们还会讲述对偶空间。敬请期待！