物理

张量分析入门-L₂:坐标系变换与克罗内克符号

        当我们学习线性代数的时候，大部分同学应该都学到过基的变换。

        今天我们就来好好聊一聊基变换，以及其衍生出来的克罗内克符号。

$\huge{L_2：坐标系变换与克罗内克符号}$

$\Large{L_{2.1}：前向变换与后向变换}$

        假设我们现在有一个$旧基组\vec{e_1},\vec{e_2}和一个新基组\widetilde{\vec{e_1}},\widetilde{\vec{e_2}}。它们$满足关系式：

                $$\begin{cases}\widetilde{\vec{e_1}}=2\vec{e_1}+\vec{e_2}\\ \widetilde{\vec{e_2}}=-\frac{1}{2}\vec{e_1}+\frac{1}{4}\vec{e_2} \end{cases}$$

        所以我们就得到了一个从旧基到新基的变换。像这样从旧基到新基的变换，我们给他起一个名字，叫做$\red{前向变换(Forward\ Transform)}$。

        众所周知，任何基的变换都有一个过渡矩阵，我们把这个前向变换的过渡矩阵踢出来，并用前向变换的英文首字母作为它的符号，我们就可以得到一个矩阵：

                $$F=\left[\begin{array}{cc}2\quad -\frac{1}{2}\\1\quad \frac{1}{4}\end{array}\right]$$

         这时候有同学可能就会问，啊？这个矩阵怎么和我平时看到的系数矩阵不一样呢？这个问题提的很好。让我们看一眼线性代数上给出的基变换公式。

                 $$(e'_1,e'_2…e'_n)=A(e_1,e_2…e_n)$$

          （上面的公式，我懒得加上向量所特有的箭头了）

          很显然在这里我们把基组看做一个行向量，而不是一个列向量。这就是为什么我们这样写出过渡矩阵的原因。如果我们使用正常的方法去获得这个方程组的$系数矩阵F，那么过渡矩阵就是F^T。$

          好吧，既然我们有前向变换，那一定存在$\red{后向变换(Backward\ Transform)}。我们$下面给出一个定义。后向变换的$矩阵B和前向变换的矩阵F有如下关系$：

                 $$B=F^{-1},F=B^{-1}$$

           $LaTeX输入矩阵和方程实在是$太麻烦，所以，我懒得把上面那个例子的后向变换方程和后向变换矩阵再打出来了，同学们可以自己尝试一下。

           接下来我们要把我们的结论$推广到n维$。这个推导过程是显而易见的，我就不写出来了，直接给出结果。但是这里要注意一下，我所$写出的Σ全部都是简写方式，就是说，我这里所写的Σ_s实际上是Σ_{s=1}^n $。那么接下来我们给出公式：

                   $$\widetilde{\vec{e_j}}=\sum_k F_{kj}\vec{e_k}$$

                   $$\vec{e_i}=\sum_j B_{ji}\widetilde{\vec{e_j}}$$

           至此，第二课的上半部分结束。

$\Large{L_{2.2}：克罗内克符号}$

            在上半节课，我们已经推导出下面两个公式：

                   $$\widetilde{\vec{e_j}}=\sum_k F_{kj}\vec{e_k}$$

                   $$\vec{e_i}=\sum_j B_{ji}\widetilde{\vec{e_j}}$$

            那么接下来，我们把这两个公式组合在一起，就可以得到下面这个式子：

                    $$\vec{e_i}=\sum_j B_{ji}(\sum_k F_{kj}\vec{e_k})$$

            然后为了接下来的推导，我们把这些求和符号的顺序改变一下：

                    $$\vec{e_i}=\sum_k(\sum_j B_{ji}F_{kj})\vec{e_k}$$

            注意这里的改变不影响这个等式的成立性，不知道原因的同学把求和项展开就能明白了。

            然后我们会发现，$因为\vec{e_i}只等于其本身，所以括号内的$部分必定满足这个性质：

                    $当k=i时，等于1。$

                    $当k≠i时，等于0。$

           我们把中间这个部分，就叫做$\red{克罗内克符号(Kronecker\ Symbol)}$，$用δ$来表示。通常我们$在δ下$面加两个下标，来表示它作用于哪两个变量。比如上面那个例子，那个克罗内克符号就可以表示$为δ_{ik}$。其实我们在番外篇会说到，这个地方是使用了克罗内克函数的筛选性，有兴趣的同学可以看番外。

           那么接下来我们就可以给出克罗内克符号的标准定义：

                    $$δ_{ij}=\begin{cases}1\quad if\ i=j\\0\quad if\ i≠j\end{cases}$$

           有关克罗内克符号的部分就讲完了。但是我们还要注意一点，就是在克罗内克符号的推导过程中，出$现了B_{ji}和F_{kj}这两个$因子。

           特别的，我们$称F_{kj}为\red{前向变换因子(Forward\ Transform\ Factor)}$，称$B_{ji}为\red{后向变换因子(Backward\ Transform\ Factor)}$。

            那么到此止，第二课的正篇部分讲完了。但第二课结束了吗？还没有。

$\Large{L_{2.3}番外：还有很多东西可以学！}$

$\large{P_1:克罗内克函数与狄拉克函数}$

      在正片中，我们已经推导出了克罗内克符号。那么我们可不可以把克罗内克符号看作一个函数呢？答案是可以的。$\red{克罗内克函数(Kronecker\ Function)}$是一个二元函数，记$作δ(i,j)$。这个函数本身没有归一性。但是我们要介绍和它相关的另一个函数，$\red{狄拉克函数(Dirac\ Function)}$，这个函数是一个一元函数，存在归一性。狄拉克函数同样使$用δ作$为它的专有符号，定义如下：

               $$(1)δ(j)=0\ (j≠0)$$

               $$(2)\int_{-∞}^{+∞}δ(i)\ di=1$$

        其中第二个式子就是狄拉克函数归一性的体现。好，这时候可能就有同学要问了。什么是归一性？简单的说，如果一个函数具备归一性，那么这个函数模长的平方从负无穷大到正无穷大的积分值为一。那这个归一性存在的意义是什么呢？我们举一个例子。除了上面这个狄拉克函数之外，部分有关概率的函数也具备归一性，这个应该很好理解。比如在量子力学中，波函数就是一个具有归一性的函数，因为它模长的平方表示了电子在空间中出现的概率。当然，狄拉克函数并不是一个表示概率的函数，只不过也存在归一性而已。但是可能有同学不理解，上面那个式子并不是狄拉克函数模长的平方，为什么能代表归一性呢？仔细想想，如果狄拉克函数从负无穷到正无穷的积分等于1，那它模长的平方从负无穷到正无穷的积分也一定等于1。

        从上面这两个式子中我们可以得知，狄拉克函数在其定义域上，非零点处函数值皆为零，零点处函数值无穷大。

        狄拉克函数还有另一个定义：

                 $$δ(x)=\frac{dH(x)}{dx}$$

        其中，$H(x)被$称为阶跃函数，定义为：

                 $$H(x)=\begin{cases}1\quad if\ x＞0\\0\quad if\ x＜0\end{cases}$$

        可以看出阶跃函数是一个不连续的函数。其实，任意不连续函数的导函数解析式中都会出现狄拉克函数。好，问题又来了。一个函数都不连续了，哪来的导函数？那这里我们补充一个概念。对于一个不连续的函数，其间断点处导数无穷大。比如上面的阶跃函数，它的间断点和零点重合，所以在零点处导数无穷大。

        克罗内克函数和狄拉克函数的另一条重要性质是筛选性。这时候可能又有同学要问了，筛选性又是什么？相比于归一性，筛选性可能更好理解一些。我们把克罗内克函数或狄拉克函数看作一个筛子。现在在这个筛子上放上无穷多个量（也可能并不是无穷多的，取决于求和进行的次数），而且这无穷多个量中，不存在某两个量相等的情况。当这个筛子作用于这些量时，可以从无穷多个量中筛选出存在且唯一的某一个量，这种性质就被称为筛选性。需要注意的是，不同的筛子筛出不同的量，且这个量存在，唯一。筛选性的数学表达式如下：

                $$\sum_{i=-∞}^{+∞}δ(i,j)a_i=a_j$$

                $$\int_{-∞}^{+∞}δ(i-j)f(i)\ di=f(j)$$

        当然，如果你想，克罗内克函数的筛选性也可以使用无穷积分来表示，但我们只能对其中的一个变量进行积分，另外一个变量看作常数：

                $$\int_{-∞}^{+∞}δ(i,j)a_i\ di=a_j$$

        这些就是克罗内克函数和狄拉克函数的内容了。但是，克罗内克函数和狄拉克函数还有很多有意思的性质，同学们可以自己在网络上搜索。例如，在数学信号处理中，克罗内克函数被称为单位脉冲。克罗内克函数还有指标缩减，指标转移，爱因斯坦求和约定等很多性质。狄拉克函数的傅里叶变换也十分的有意思。虽然这些不是特别有用，但是它们真的很好玩儿！

$\large{P_2:广义克罗内克符号}$

        接下来我们要介绍的，是一种独特的克罗内克符号。它叫做广义克罗内克符号。广义克罗内克符号是一个张量（准确来说，我们现在使用的克罗内克符号也是一个张量，只不过我们忽略了他作为张量的性质）。为了不剧透，在这里我只能告诉大家广义克罗内克符号定义为$一个n\times n阶的行$列式。有兴趣的同学可以自己在网上搜一下。学习广义克罗内克符号可能涉及到列维-奇维塔符号和一部分张量知识，学不懂也不用担心，因为广义克罗内克符号在张量分析的领域中并不常见。

$\large{P_3:克罗内克函数的积分表示和运用实例}$

        最后一个我们要介绍的概念，是克罗内克函数的积分表示。这里我们提供两种表示。第一种是使用复变函数中的留数概念，克罗内克函数定义为：

                $$δ(u,t)=Res[f(z),z_0]$$

        在这里，孤立$奇点z_0与$函数零点重合，函$数f(z)=z^{u-t-1}$。定义$圆环域D$为：

                $$0＜|z-z_0|＜R$$

        则克罗内克函数在$圆环域D上$定义为：

                $$δ(u,t)=\frac{1}{2πi}\oint_C z^{u-t-1}\ dz$$

        注意两点。首先,这里$的i不$是一个变量，而是虚数单位。第二点，环路积分$路径C是$圆环$域D上$的一个包围孤立奇点的闭合简单曲线，环路积分$沿路径C围绕$孤立奇点逆向进行。

        如果你看不懂留数，没有关系。上面那个复杂的定义与下面这个等价：

                $$δ(u,t)=\frac{1}{2π}\int_0^{2π} e^{i(u-t)φ}\ dφ$$

        这里也要注意，$i是$虚数单位。

        这时候有同学就要问了，所以留数这么复杂，有什么用呢？那我们运用它解决一个实例。

        留数在数值上等于该函数洛朗级数中的负一次项系数，所以，我们可以得到:

                 $$(1)函数f(z)=z^{-1}在零点处的洛朗级数负一次项系数为1$$

        可以看到，留数在解决函数洛朗级数的时候，很有用处。

        接下来，我们将使用它来解决一个简单的环路积分问题。

        已知函$数f(z)=z^{-1}$，$求\oint f(z)\ dz$。

        我们首先观察。可以知道，这个函数只有一个不可导点，就是它的零点。所以，这个函数只有一个孤立奇点，与它的零点重合。接下来，我们使用留数定理：

                $$\oint_C f(z)\ dz=2πi\sum_{k=0}^n Res[f(z),z_k]$$

        这个公式很美，也很有用。因为这个函数只有一个孤立奇点，所以我们可以把上式改写作：

                $$\oint_C z^{-1}\ dz=2πi\ Res[z^{-1},z_0]$$

        刚刚已经说过，某点的留数在数值上等于函数在那一点上的洛朗展开式的负一次项系数。刚刚也已经证明，上面这个函数在0点处的洛朗展开式负一次项等于一。所以我们得出一个重要结论：

                $$\oint_C z^{-1}\ dz=2πi$$

         其$中C是$任意一个包围原点的简单闭合曲线。

         这样，我们就很轻松的将环路积分转化为了一般的计算。这就是克罗内克函数强大的能力。

        好啦，经过自由基整整一个周末的努力，第二课终于更新完啦！第三课，我们将了解到向量，向量空间，逆变与协变。敬请期待更新吧！