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从这个角度来看，我们就能给出我们一直以来在说的『算符』的定义：她是一个函数到函数的映射，在函数空间中把一些函数映射成另一些函数，你输入一个函数，就会得到一个函数。通过对算符本身性质的研究，我们就能够将一切物理问题转化为一个本征值问题，而函数的具体形式已经不重要了，这就像你研究函数时只关心单调性对称性周期性等不关心自变量是多少一样。这就是线性代数规避计算的原理。
另外，并非什么函数都在函数空间中，这个函数是需要满足一定条件的，它需要平方可积。即
$$L^2=\{f:\R^n\rightarrow\Complex|\int|f|^2\mathrm{d}x<\infty\}$$
鄙人有幸学过一点泛函分析，刚好可以给楼主佬做一点补充。
Hilbert空间是这样一个内积空间，它满足空间中的任意Cauchy列{Xn}都在其中收敛，即∀Cauchy列{Xn}，∃X∈H，使得Xn→X(n→+∞)，它又称为完备的内积空间(看来完备性是这个意思啊)。至于内积空间，就是一个定义了内积的线性空间。其实从这里可以看出来，线性空间的定义与群论有着一种奇妙的关系。线性空间中加法的定义和环里加法的定义，从结构上来看是完全一致的。除此之外，
除此之外，线性空间的结构与群域环的结构，算子运算性质与乘法运算性质，也都有共通之处。
虽然还不太够，但也差不多了。有了这些知识的渗透，我们就可以探索算子的世界了。
设线性空间X,Y ，T是X到Y的映射，满足T(x+y)=Tx+Ty,T(ax)=aTx，则称T为X到Y的线性算子。
当然还有非线性算子，这里就不过多谈论了。随后，我们引进了算子范数，矩阵表示和投影算子共轭算子等概念。咦，那矩阵中的的特征根，还有推广吗？当然有咯，这就是有界线性算子的谱：点谱剩余谱连续谱，压缩谱近似点谱，左谱右谱谱半径…在这里，我们将遇到(我个人认为的)线性空间中最伟大的定理：Banach逆算子定理：零空间为零且值域为整个映射空间的算子，是逆算子。
了解这些知识并不是毫无疑义的。我们可以用它来得到很多有意义的结论，比如说，不确定性原理的公式Δp×Δq>h/4π(知乎上有它的证明，还是很巧妙的)
ps.来自一位最后止步于队线外第六的原树精生。
再ps.我才发现这里是物理的地盘。
再再ps.敲这键盘感觉手要废掉了。
再再再ps.我才反应过来我刚刚一直在用触屏键盘。。。
