数学

三角函数综合

$\LaTeX$码子不易，还请多多支持。

三角函数公式综合

前言：三角函数，是数学学习中非常重要的一环，也和某些学科密不可分（特指物理），本人为大家整理了一些公式，有错请指正，谢谢。

from：V·H

PS：余弦定理过程因为敏感词就先不放了

诱导公式

$\cos{2kπ+\alpha}=\cos{\alpha}，\sin{2kπ+\alpha}=\sin{\alpha}，\tan{2kπ+\alpha}=\tan{\alpha}$

$\cos{π+\alpha}=-\cos{\alpha}，\sin{π+\alpha}=-\sin{\alpha}，\tan{π+\alpha}=\tan{\alpha}$

$\cos{π-\alpha}=-\cos{\alpha}，\sin{π-\alpha}=\sin{\alpha}，\tan{π-\alpha}=-\tan{\alpha}$

$\cos{-\alpha}=\cos{\alpha}，\sin{-\alpha}=-\sin{\alpha}，\tan{-\alpha}=-\tan{\alpha}$

$\cos{\dfrac{π}{2}+\alpha}=-\sin{\alpha}，\sin{\dfrac{π}{2}+\alpha}=\cos{\alpha}，\tan{\dfrac{π}{2}+\alpha}=\cot{\alpha}$

$\cos{\dfrac{π}{2}-\alpha}=\sin{\alpha}，\sin{\dfrac{π}{2}-\alpha}=\cos{\alpha}，\tan{\dfrac{π}{2}-\alpha}=\cot{\alpha}$

和差角公式

$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$

$\tan{(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$

$\tan{(\alpha-\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$

二倍角公式

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$\tan{2\alpha}=\dfrac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$

半角公式：

$\cos{\dfrac{\alpha}{2}}=±\sqrt{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}$

$\sin{\dfrac{\alpha}{2}}=±\sqrt{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}}$

$\tan{\dfrac{\alpha}{2}}=±\sqrt{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}$

万能公式：

$\tan{\alpha}=\dfrac{2\tan{\dfrac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$

$\sin{\alpha}=\dfrac{2\tan{\dfrac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$

$\cos{\alpha}=\dfrac{1-\tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$

积化和差：

$\sin{\alpha}\cos{\beta}=\dfrac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$

$\cos{\alpha}\sin{\beta}=\dfrac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$

$\cos{\alpha}\cos{\beta}=\dfrac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$

$\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\dfrac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$

和差化积：

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

$\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

$\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

余弦定理：

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$

正弦定理：

$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}$

证明过程：

由三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}ab\sin{C}$即可推出