物理 「鹭问」从0.999…与1的关系聊到关于极限的定义
此帖意在抛出例题这么一块废砖用以引出佬对于极限概念与循环论证看法的玉
并非纠结于题目本身，题目本身只不过是一块废砖
期望能为闲人雪鹭的这一胡思乱想做解答，并听见更多重视此问题并做出详细解答的声音
「鹭问」的谐音是“论”， 「鹭问」系列是用于屑雪鹭提问以及提出学术性观点的学术提问帖
欢迎并期望论坛佬勘误/提问/吐槽/建议.
一点疑惑，前置:
〔抛砖〕
关于0.999…与1的关系
主流(为众所熟知)证法认为0.999…=1
证法如下：
设x=0.999…
∴10x=9.999…
∵9x=10x-x=9
∴x=1
∴0.999…=1
几点疑惑：
关于“极限”、“无限”的运算 是否能直接做以上加乘？
9*0.999…到底是表示为什么？10*0.999…只是0.999…小数点向前移动一位吗？
引申归谬：
首先，若承认“极限”类可被加乘运算，那么:
令一数n=无限大正整数
∵1比0.999…大一位
∴有1*10^n-0.999…*10^n=1
因此 0.999…<1.
(本质上是对于1-0.999…的差0.00…001的思考
又想到一种：
令m=100…000
(无限个0，或者说令m与1-0.999…的差0.00…001互为倒数
则1*m-0.999…*m=(1-0999…)*m=0.00…001*m=1
所以在1和0.999…之间那个数应当存在
[引玉]
不脱离问题本身，那么此命题本质上是否是对实数稠密性的讨论(即任何两个不同数之间一定存在一个数)？
0.999…与1间的数是否存在？
本人以上两种思路是围绕这个本质思考的，本质上是用极限证明的循环论证，欢迎勘误
关于“极限”，究竟应该如何运算？
对于柯西中“无限趋近=”与四则运算“数值相同=”之间的讨论？
对于“极限”，可以用四则运算严谨证明吗？
对主流证法的勘误？
显然不能做加乘，否则会出现诡异的东西，比如：
设A=1+2+4+8+…
则2A=2+4+8+16+…
2A-A=-1 则A=1+2+4+8+…=-1
至于0.999…和1差一个无限小数
依据戴德金分割和实数最基本的定理，不允许无限小数的存在
目前关于0.999…=1最权威的证法是戴德金分割
不过质疑的人也不少，类比希尔伯特大酒店
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我再补充一点疑惑
首先，无限根式类题目的证明方法是否为错
如6+(6+(6+...)^1/2)^1/2
其次，在导数中，无穷小量又是什么？在牛顿时代，无穷小量有时候当做0，有时候不当做0，就已经招致了贝克莱的猛烈抨击。而我目前接触到的极限，似乎只是想用“趋近于”来绕开解释。我想问的是，前沿进展是如何理解极限的，是否一样存在逃避问题，或自相矛盾的情况在?极限带来的数学危机，是否尚未结束？？？
）既然无法达到 那么您认为无穷小量是否就不等于0？
或说0.999…是否小于1？
实数的稠密性为例题提供一个思路
那个0.0…001的无穷小量是否存在啊
运用循环论证证明存在 那么对于循环论证我们应该怎么看
循环论证无关紧要，重要的是它的公设得令人满意
无穷小量是一个趋近0的过程，这点从定义与极限计算都可以看出来
关于0.9循环，用1减他就是0.00……1，假如现在是一万个1，我再加一个0，不就更接近0了，所以这是一种不断接近的过程
但是用1减出来的并不太严谨，目前最严谨还是要用戴德金分割
请问柯西是怎么定义的？
如果是我理解的那个“无限趋近于”，你不感觉这个概念有点逃避问题的感觉吗？好像并不是很令人满意
我觉得不算逃避问题吧，无限趋近本来就是目前最好的方法....比如取了小数点后十位，那么显然还有更小的后一百位，但是取了一百位之后还有更小的一万位...所以我觉得“取无穷小量”本身就是一个无限逼近的过程...
极限本身可以是说是不存在的、是无法取到的，取极限这个过程本身就需要无限的时间
或许这种感觉来源于我的无知吧。。
毕竟我并不了解它的应用，也不了解它的历史和背景。而由于前置知识的问题我一时半会也理解不了。
把“无穷小”改成“趋近于0”，感觉上还是没有对贝克莱悖论一个令人满意的答复（或许您可以试试？）
只能希望以后有时间了，好好研究一下这个问题吧
既然承认无限是猜想并被困扰
这不恰好体现这个问题有讨论的意义了吗
而不是因为一两个观点 解决这问题本身就放下对无限的讨论并想当然
问题就在那里 我想它的被臆想并不能作为放弃它的原因
去看看《高等数学》，那上面有对于极限的严格定义，没有用到无限小量。0.99999……的定义应该是{0.9，0.99，0.999，0.9999，……}这个数列的极限。牛顿时代所用的那个无限小量已经在第二次数学危机中被柯西用新的极限定义解决了，但中教课书可能觉得严格定义有点麻烦，所以没写进高中教科书，但去看高数的话里面是有严格定义的
做这个不比讨论高数基本概念好