数学

经典概率分析

经典概率题是指这样一类选择题：求你做对此题的概率。有n个选项1,2,3,...,n，每个选项的内容分别是一个在0~1之间的概率$p_i$，$\sum\limits_{i=1}^np_i$未必为1。

我们先考虑只有两个选项A,B的简单情形，对应的概率分别是$p_A,p_B$. 我们设实际上A选项正确的概率为p，而B选项正确的概率为1-p。

信息学家香农(Shannon, 1916-2001)在1948年提出了信息熵的概念。这是一个衡量事物不确定度的量。熵越大，一件事就越不确定。其定义式为：

$S=-\sum\limits_{i=1}^\Omega p_i\ln p_i$

对于这道题，类似最小作用量原理地，我们答案的概率分布必然使得熵取最小值，即我们希望他尽量确定。$\delta S=0$

根据定义式有：$S=-\cfrac{p}{p_A}\ln\cfrac{p}{p_A}-\cfrac{1-p}{p_B}\ln\cfrac{1-p}{p_B}$

$\cfrac{dS}{dp}=-\cfrac{1+\ln\frac{p}{p_A}}{p_A}+\cfrac{1+\ln\frac{p}{p_B}}{p_B}=0$

$p^\frac{p_A}{p_B}=\cfrac{e}{p_B}(\cfrac{e}{p_A})^{-\frac{p_B}{p_A}}(1-p)$

我称此方程为经典概率方程。这个方程难以求出通解（至少我不会）。不过，对于一些特定的$p_A,p_B$，我们可以尝试求解。

例1：A. 0; B. 1.

对于$(\cfrac{e}{p_A})^{-\frac{p_B}{p_A}}$项，指数上出现了无穷大。我们使用洛必达法则。

先求其对数，$\lim\limits_{p_A\to 0}-\frac{p_B}{p_A}\ln\cfrac{e}{p_A}=-p_B\lim\limits_{p_A\to 0}\cfrac{\ln\cfrac{e}{p_A}}{p_A}=-p_B\lim\limits_{p_A\to 0^+}\cfrac{1}{p_A}=-\infty$。故$\lim\limits_{p_A\to 0}(\cfrac{e}{p_A})^{-\frac{p_B}{p_A}}=0$。

经典概率方程即为：$p^0=0$，然而在$p\neq 0$时均有$p^0=1$。p只能为0。选A的概率为0，选B的概率为1。

故答案为B。

例2：A. 1/3; B. 1/3.

代入$p_A,p_B$，经典概率方程：$p=3e(3e)^{-1}(1-p)\Rightarrow p=1/2$。选A，B的概率均为1/2。

故答案为：$\frac{A+B}{2}$。这个答案可能有点难以理解，因为一般而言选择题都是一个选项，AB各取一半相加是什么意思呢？在此我给出两个方案：

1. 我们采用一种全新的考试规则，你可以选择多个选项，分配你的权。比如你做一道题的时候首先排除了D选项，又感觉C不太可能，始终在AB之间徘徊。现在留给你的有很多选择：填$\frac{A+B}{2}$，填$\frac{3A+2B+C}{6}$，或者直接赌一把，单押A。这些都是可以的，随你所愿。而计分的时候，你这道题的得分就是这道题的总分与你在正确答案上的权值分配之积。如一道4分的选择题，你选择$\frac{3A+2B+C}{6}$方案，最终答案是A，那你就得到2分。那如果正确答案就是$\frac{A+B}{2}$呢？如果你选A，那么你在正确答案的权就是0，因为你的答案没有任何B的成分，所以你会得到0分。选B同理，你也会得到0分。当你选择$\frac{A+B}{2}$时，你能得到这道题全部的分数。当你选择$\frac{2A+B}{3}$时，你会得到2/3的分数，因为这是你在正确答案上的权值分配。

2. 不改变考试规则，你还是只能选一个选项。但是正确答案的决定方式是：抛硬币，若为正面则这道题答案为A，反之为B。作答时，我们算出$\frac{A+B}{2}$的答案，我们只能也抛硬币决定答案。

那么对于两选项的经典概率题就先介绍到这里，更多选项的经典概率题有待探索。